Ejercicios de cálculo en variable Compleja

Dada la función:

\(u(x,y) = u^2 - y^2\)

Encontrar f(z) que sea holomorfa.

- Respuesta 26

Tenemos que encontrar una función v(x,y) para la que se verifique

\(\displaystyle \begin{array}{l} v_y(x,y) = u_x(x,y) = 2x \Rightarrow v = 2xy + \phi(x) \\ \\ v_x(x,y) = -u_y(x,y) = 2y = 2y +\phi'(x) \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \phi'(x) = 0 \Rightarrow \phi (x) = K \end{array} \)

De todo lo visto resulta:

\(f(z) = x^2 - y^2 + 2xy = z^2 \)

Algunas veces puede resultar complicado pasar de una función en variables x e y a otra en una sola variable compleja. Supóngase que hemos obtenido:

\(\displaystyle f(z) = \frac{x(x^2+y^2+1)}{2(x^2+y^2)} + \frac{y(x^2+y^2+1)}{2(x^2+y^2)} \)

f(z) debe ser tal que para z real coincida con f(x). Tenemos entonces:

\(f(z) = f(x, y)\; ;\; f(z = x) = f(x, 0) \Rightarrow f(x, 0) = u(x, 0) + i·v(x, 0) \)

Y resulta:

\(\displaystyle f(x,0) = \frac{x^3+x}{2x^2} \Rightarrow f(z) = \frac{z^3+z}{2z^2} = \frac{z^2+1}{2z} \)