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ejercicios resueltos de variable compleja

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Ejercicios de cálculo en variable Compleja - Respuesta 24

La función th z se define por la ecuación:
    \(\displaystyle \textrm{th }z = \frac{\textrm{sh } z}{\textrm{ch } z} \)
Para encontrar los puntos del plano complejo en que esta función es imaginaria pura hacemos:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \textrm{sh } z = \frac{e^z - e^{-z}}{2} = \frac{e^{x+iy} - e^{-x-iy}}{2}= \frac{e^xe^{iy} - e^{-x}e^{-iy}}{2} \\ \\ \\ \textrm{sh } z = \frac{e^xe^{iy} + e^{-x}e^{-iy}}{2} \end{array} \)
Donde hemos puesto z = x + i.y como valor complejo.

Podemos ahora tener en cuenta las expresiones:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \cos y + i\sin y = e^{iy} \; ; \; \cos y - i\sin y = e^{-iy}\\ \\ \\ \textrm{sh } x + \textrm{sh } x = e^x \; ; \; \textrm{sh } x - \textrm{sh } x = e^{-x} \end{array} \)
A partir de las cuales obtenemos:
    \( \textrm{ sh } z = \textrm{ sh } x . \cos y + i.\textrm{ ch } x . \sin y \;; \;\textrm{ sh } z = \textrm{ ch } x . \cos y + i.\textrm{ sh } x . \sin y \)
Y de donde resulta:
    \(\displaystyle \textrm{th } z = \frac{\textrm{sh } z}{\textrm{ch } z} = \frac{\textrm{ sh } x . \cos y + i.\textrm{ ch } x . \sin y}{\textrm{ ch } x . \cos y + i.\textrm{ sh } x . \sin y}\)
O lo que es igual:
    \(\displaystyle \textrm{th } z = \frac{\textrm{sh } z}{\textrm{ch } z} = \frac{\textrm{sh } x \textrm{ch } x + i\sin y \cos y} {\textrm{ ch }^2 x \cos^2 y + \textrm{ sh }^2 x \sin^2 y } \)
Para que th z sea imaginario puro, deberá cumplirse la ecuación:
    \(\displaystyle \frac{\textrm{sh } x \textrm{ch } x } {\textrm{ ch }^2 x \cos^2 y + \textrm{ sh }^2 x \sin^2 y } = 0 \Rightarrow \textrm{sh } x \textrm{ch } x = 0 \)
Y de ahí obtenemos:
    \(\displaystyle \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right)\left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right) = \frac{1}{4}\left(e^{2x} - e^{-2x} \right)= 0 \Rightarrow x = 0 \)
Es decir, la función th z será imaginario puro cuando lo sea z\((z = i·y \; ; \; y\in \Re \; ; \; y \neq 0)\) (z = i.y ; y real y distinto de cero)
EJERCICIOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás