Ejercicios de cálculo en variable
Compleja
Sean:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{z^n}{n^2}\right) \)
Y S’(z) la serie obtenida mediante derivación término
a término de S(z). Dígase si S(z) y S’(z)
convergen uniformemente en \(\overline{D(0,1)}\)
- Respuesta 23
Consideremos primero la serie S(z). Para ver si esta serie es
uniformemente convergente en \(\overline{D(0,1)}\) empleamos el
criterio de Weierstrass: Tenemos que en la región \(\overline{D(0,1)}\)
la serie está mayorada por la serie numérica
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \)
y esta serie es convergente pues se trata de un caso de la serie
armónica generalizada.
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}\)
con exponente \(\alpha = 2\) . En estas condiciones, la serie
dada es uniformemente convergente en \(\overline{D(0,1)}\) .
Al ser S(z) uniformemente convergente podemos derivar término
a término y la serie derivada, S’(z) se puede escribir
en la forma:
\(\displaystyle S'(z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n^2}z^{n-1}
= \sum_{n=1}^\infty \frac{n+1}{(n+1)^2}z^n = \sum_{n=1}^\infty
\frac{1}{n+1}z^n \)
Para la región dada, esta serie está mayorada por
la serie armónica que es divergente. Así pues, la
serie S’(z) no es uniformemente convergente en la región
dada.