PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de variable compleja

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Ejercicios de cálculo en variable Compleja - Respuesta 23

Consideremos primero la serie S(z). Para ver si esta serie es uniformemente convergente en \(\overline{D(0,1)}\) empleamos el criterio de Weierstrass: Tenemos que en la región \(\overline{D(0,1)}\) la serie está mayorada por la serie numérica
    \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \)
y esta serie es convergente pues se trata de un caso de la serie armónica generalizada.
    \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}\)
con exponente \(\alpha = 2\) . En estas condiciones, la serie dada es uniformemente convergente en \(\overline{D(0,1)}\) .

Al ser S(z) uniformemente convergente podemos derivar término a término y la serie derivada, S’(z) se puede escribir en la forma:
    \(\displaystyle S'(z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n^2}z^{n-1} = \sum_{n=1}^\infty \frac{n+1}{(n+1)^2}z^n = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1}z^n \)
Para la región dada, esta serie está mayorada por la serie armónica que es divergente. Así pues, la serie S’(z) no es uniformemente convergente en la región dada.
EJERCICIOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás