Ejercicios de cálculo en variable Compleja

Sean:

\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{z^n}{n^2}\right) \)

Y S’(z) la serie obtenida mediante derivación término a término de S(z). Dígase si S(z) y S’(z) convergen uniformemente en \(\overline{D(0,1)}\)

- Respuesta 23

Consideremos primero la serie S(z). Para ver si esta serie es uniformemente convergente en \(\overline{D(0,1)}\) empleamos el criterio de Weierstrass: Tenemos que en la región \(\overline{D(0,1)}\) la serie está mayorada por la serie numérica

\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \)

y esta serie es convergente pues se trata de un caso de la serie armónica generalizada.

\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}\)

con exponente \(\alpha = 2\) . En estas condiciones, la serie dada es uniformemente convergente en \(\overline{D(0,1)}\) .

Al ser S(z) uniformemente convergente podemos derivar término a término y la serie derivada, S’(z) se puede escribir en la forma:

\(\displaystyle S'(z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n^2}z^{n-1} = \sum_{n=1}^\infty \frac{n+1}{(n+1)^2}z^n = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1}z^n \)

Para la región dada, esta serie está mayorada por la serie armónica que es divergente. Así pues, la serie S’(z) no es uniformemente convergente en la región dada.