PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMATICAS
ejercicios resueltos de variable compleja

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Ejercicios de cálculo en variable Compleja - Respuesta 22

a) La expresión dada se puede transformar en una más sencilla escribiendo:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \sum_{n=0}^\infty n\left[\frac{z^3 - 3iz^2 - 3z + i}{8}\right]^n = \\  \\ = \sum_{n=0}^\infty n\left[\frac{(z - i)^3 }{8}\right]^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{n}{8^n}(z-i)^{3n} \end{array} \)
Por el criterio de la raíz tenemos:
    \(\displaystyle\begin{array}{l} \lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\left|\frac{n}{8^n}(z-i)^{3n}\right|} = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\sqrt[n]{n}}{8}|(z-i)|^3 < 1 \Rightarrow \\  \\ \rightarrow |(z-i)|^3 < 8 \Rightarrow |(z-i)| < 2 \end{array} \)
Y la región de convergencia será el interior del círculo |(z - i)| = 2

b) Para la segunda serie aplicamos el criterio logarítmico, que dice: Si existe el límite de la expresión:
    \(\displaystyle \left|\frac{\log(1/n)}{\log n}\right| = \lambda \)
Y este es mayor que 1, entonces la serie an es convergente. Según eso tenemos:
    \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\left|\frac{-z^2\log \sqrt{n}}{\log n}\right| = \lim_{n\rightarrow \infty}\left|\frac{z^2\log \sqrt{n}}{2\log \sqrt{n}}\right| = \lim_{n\rightarrow \infty}\left|\frac{z^2}{2}\right|>1 \)
Y a partir de ahí:
    \( |z^2|> 2 \Rightarrow |z|> \sqrt{2} \)
Con lo que la región de convergencia será el exterior del círculo \(|z|= \sqrt{2}\).
EJERCICIOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás