PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de variable compleja

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Ejercicios de cálculo en variable Compleja

Probar que:
    \(\displaystyle a)\quad \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{i}{5}\right)^{n-1} = \frac{5}{26}(5+i)\quad ; \quad b)\quad \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{N}\right)< 90 \)
Siendo para el segundo caso, {N} el conjunto de todos los números construidos de forma que no contienen ningún cero.

- Respuesta 21


La serie a) la podemos considerar de tipo hipergeométrico, puesto que podemos escribir:
    \(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{i}{5} = \frac{n\alpha + \beta}{n\alpha + \gamma}\;;\quad \textrm{ con } \alpha = 0 \;; \;\beta = i \;; \; \gamma = 5 \)
La suma de esta serie se obtiene directamente aplicando la fórmula general de series hipergeométricas:
    \(\displaystyle A_k = \frac{a_k (k\alpha + \beta) - a_1\gamma}{\alpha +\beta - \gamma} \)
Con lo cual:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} A_n = \frac{ \displaystyle\left(\frac{i}{5}\right)^{n-1}(n\times 0 +i)- 1\times 5}{i-5}= \\  \\ = \frac{i^n - 5^n}{5^{n-1}(i-5)} = \frac{i^n}{5^{n-1}(i-5)} - \frac{5^n}{5^{n-1}(i-5)} \end{array}\)
El primer término de la última expresión tiende a cero cuando n tiende a infinito. De ese modo resulta:
    \(\displaystyle A_n = \frac{5^n}{5^{n-1}(i-5)} = - \frac{5}{(i-5)} = \frac{5}{26}(i+5) \)
Para el segundo ejemplo, si consideramos la serie
    \(\displaystyle \sum_{N=1}^\infty \left(\frac{1}{N}\right) \)
Con N un número cualquiera, tenemos la serie armónica que es una serie divergente. No obstante podemos apreciar que al eliminar todos los sumandos que contengan algún cero, quitamos muchos términos. Así, se van eliminando los términos de la forma
    \(\displaystyle \frac{1}{(10n)}\;; \; \frac{1}{(10^2n+ 1)}\;; \; \frac{1}{(10^2n+ 2)}; \cdots \)
En general, entre:
    \(\displaystyle \frac{1}{10^k}\;; \; \frac{1}{10^{k+1}} \)
Nos quedan tantos términos sin eliminar como números pueden escribirse con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Esto son las variaciones con repetición que se pueden formar con 9 elementos tomados de k+1 en k+1, y cuyo número es 9k+1 = 9.9k.

La suma de estos términos es menor que:
    \(\displaystyle 9 \times 9^k \times \frac{1}{10^k} \)
Por ser
    \(10^k < (10+1)^k < ... < (10+9)^k\)
y, por tanto:
    \(\displaystyle \sum_{N=1}^\infty \left(\frac{1}{N}\right) < \sum_{N=0}^\infty 9 \times 9^k \times \frac{1}{10^k} = 9 \sum_{N=0}^\infty \left(\frac{9}{10}\right)^k = 9\times 10 = 90 \)
Puesto que (9/10)k es una serie hipergeometrica cuya suma vale 10.
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tema escrito por: José Antonio Hervás