PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de variable compleja

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Ejercicios de cálculo en variable Compleja - Respuesta 20
Para el primer caso tenemos :
    \( z = x+iy \Rightarrow f(z) = z^2 = (x^2-y^2) + i2xy \)
con lo que resulta :
    \(\begin{array}{c} u(x,y) = (x^2-y^2) \quad ; \quad v(x,y) = 2xy \\ \\ u_x = 2x = v_y \quad ; \quad u_y = -2y = - v_x \end{array} \)
Se cumplen las condiciones de Cauchy – Riemman y las funciones ux, uy, vx, vy son contínuas para todos los valores x e y , por lo que la función estudiada es holoforma para todo valor de z.

Para la segunda función tenemos :
    \(\displaystyle \begin{array}{l} f(z) = \frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2} = u(x,y)+ iv(x,y) \\ \\ u_x(x,y) = \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} = v_y(x,y); \\ \\ u_y(x,y) = -\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2} = v_x(x,y) \end{array} \)
En este caso se cumplen las condiciones de Cauchy – Riemman pero las derivadas dejan de ser continuas en (x² + y²)² = 0 y, en consecuencia, f(z) es derivable en todo el plano salvo el punto (0, 0).

En el tercer caso podemos escribir :
    \(\begin{array}{l} u(x,y) = (x^2·y^2) \quad ; \quad v(x,y) = 2x^2y^2 \\ \\ u_x = 2xy^2 \quad ; \quad u_y = 2x^2y \quad ; \quad v_y = 4x^2y \quad ; \quad v_x = 4xy^2 \end{array} \)
En este último caso, las condiciones de Cauchy – Riemman únicamente se cumplen si x = 0 ó y = 0, es decir, sobre dichas rectas. De todos modos, en ningún punto de dichas rectas es derivable la función.
EJERCICIOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás