PROBLEMAS RESUELTOS
DE
MATEMÁTICAS

EJERCICIOS RESUELTOS

DE VARIABLE COMPLEJA

  Estás en >

Matemáticas y Poesía

problemas resueltos

Si estos problemas de variable compleja te han sido de utilidad, ... ayúdanos, ¡Recomendándonos!
 
Ejercicios de Variable compleja - enunciado del ejercicio 11

Calcular la integral :
    \(\displaystyle\int_0^\infty\frac{\log x}{1+x^4}\)
Ejercicios de Variable compleja - enunciado del ejercicio 12

Resolver la integral :

    \(\displaystyle \int_0^\infty e^{-x^2/2}\cos ax dx \)
Ejercicios de Variable compleja - enunciado del ejercicio 13

Resolver las integrales de Fresnel :

    \(\displaystyle \int_0^\infty \cos x^2 dx\quad ; \quad \int_0^\infty \sin x^2 dx \)
Ejercicios de Variable compleja - enunciado del ejercicio 14

Sea f(z) una función análitica en un dominio D, y sea C el contorno de dicho dominio. Si z1,… , zk son polos exteriores, se demuestra que podemos escribir:

    \(\displaystyle \oint_C \downarrow f(z) dz = 2\pi i \left(\sum_k \textrm{Res}(f, z_k)+ \textrm{Res}(f, \infty) \right) \)
donde el símbolo indica que la integral se hace en sentido negativo. Teniendo en cuenta lo anterior podemos escribir :
    \(\displaystyle \oint_C \uparrow f(z) dz = \left\{ \begin{array}{l} 2\pi i \sum_{int} \textrm{Res}(f, z_k) \\ \\ 2\pi i\left( \sum_{Ext} \textrm{Res}(f, z_k)+ \textrm{Res}(f, \infty) \right) \\ \end{array} \right. \)
y tenemos :
Si z = ∞ es cero de primer orden, entonces : Res(f, ∞ ) = -Lím z.f(z) (cuando z → ∞ )
Si z = ∞ es cero de orden > , entonces : Res(f, ∞ ) = 0
Si z = ∞ es polo de orden n, entonces : Res(f, ∞ ) = - Res[(1/z² ).f(z) , 0]
Como aplicación a estos conceptos calcúlese la integral :
    \(\displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{zdz}{z^4 - 1} \)
Ejercicios de Variable compleja - enunciado del ejercicio 15

Se demuestra en teoría que si una función es análitica, la suma de todos sus residuos, comprendido el del infinito, es cero. Aplicar lo dicho al cálculo de la integral :
    \(\displaystyle \oint_{|z|=2}\frac{dz}{(z +1)^4(z^2 - 9)(z-4)} \)
Ejercicios de Variable compleja - enunciado del ejercicio 16

Obtener la integral :
    \(\displaystyle\oint_{|z|=4}\frac{zdz}{z^3 + z + 1} \)
Ver Solución
Ejercicios de Variable compleja - enunciado del ejercicio 17

Calcular los ceros exteriores a |z| = 1 , para:
    \(\displaystyle f(z) = z^8 - 4·z^5 + z^2 + 1\)
Ver Solución
Ejercicios de Variable compleja - enunciado del ejercicio 18

Encontrar los ceros de z7 - 5. z³ + 12 en el anillo 1< |z| < 2.
Ver Solución
Ejercicios de Variable compleja - enunciado del ejercicio 19

Estudiar la derivación de la función f(z) = x en el caso real y en el caso complejo.
    \(\displaystyle f(z) = x / z = x+i·y \left\{ \begin{array}{l} \forall \; z\in R \Rightarrow z = x \\ \\ \forall \; z\in C \\ \end{array} \right. \)
Ver Solución
Ejercicios de Variable compleja - enunciado del ejercicio 20

Estudiar si son derivables o en que dominio lo son, las siguientes funciones de variable compleja :
    \( \displaystyle f(z) = z^2\; ;\; f(z) = \frac{\bar{z}}{|z|^2} \;;\; f(z) = x^2y^2 + i·x^2y^2\)
Ver Solución

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO EN VARIABLE COMPLEJA

grupo primero ~ : ~ grupo segundo ~ : ~ grupo tercero

grupo cuarto ~ : ~ grupo quinto ~ : ~ grupo sexto
Otros usuarios de Matemáticas y poesía también han visto:




tema escrito por: José Antonio Hervás