PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMATICAS
ejercicios resueltos de variable compleja

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Ejercicios de cálculo en variable Compleja - Respuesta 16
Aplicamos el método de los residuos y , para ello, hemos de buscar las raíces del denominador. De todos modos, si podemos determinar que todas las raíces están dentro del círculo |z| = 4, todos los ceros serán interiores a dicho valor y no sería necesario obtener ningún residuo porque podríamos calcular la integral por el exterior. Para facilitar los cálculos aplicamos el siguiente teorema:
    \(\displaystyle \frac{1}{2\pi·i}\oint_C \frac{f'(z)dz}{f(z)} = N - P \)
Siendo P el número de polos de f(z) y N el número de ceros interiores de f(z) Si solo hay polos, tenemos :
    \(\displaystyle \frac{1}{2\pi·i}\oint_C \frac{f'(z)dz}{f(z)} = \frac{1}{2\pi·i}\sum_i \oint_{C-i} \frac{f'(z)dz}{f(z)} \)
Supongamos que f(z) es de la forma:\(f(z) = (z-z_i)^{-n}\times g(z)\) f(z) = (z - zi)-n x g(z) , con g(z) función analítica y g(zi) distinta de 0. Tenemos entonces :
    \(\displaystyle f'(z) = -n_i(z - z_i)^{-n_i -1}\times g(z) + (z - z_i)^{-n_i }\times g'(z) \)
y la integral se puede escribir :
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \frac{1}{2\pi·i}\sum_i \oint_{C-i} \frac{f'(z)dz}{f(z)} = \\  \\ = \frac{1}{2\pi·i}\sum_i \oint_{C-i} \left(\frac{-n_i}{(z-z_i)}+ \frac{g'(z)}{g(z)}\right)dz = \sum (n_i) = -P \end{array} \)
Teorema de Rouché.- Sean f(z) y g(z) analíticas en un dominio D con frontera C, y tal que sobre la frontera se cumple |f(z)| > |g(z)| , entonces F(z) = [f(z) + g(z)] y f(z) tienen el mismo número de ceros.

Demostración.- Tomamos h(z) = 1 + (g/f) , y hacemos el cálculo de la integral:
    \(\displaystyle \frac{1}{2\pi·i}\sum_i \oint_{C-i} \frac{h'(z)dz}{h(z)} = N(h) - P(h) \)
En el caso concreto de la función h(z) definida como hemos puesto, la integral escrita es 0 (no lo demostramos); por lo tanto, se tiene N(h) = N(F) ; P(h) = N(f) ; N(h) – P(h) = 0 Continuando con el ejemplo, le aplicaremos el teorema de Rouché :
    \(\displaystyle\begin{array}{l} \left. \begin{array}{l} f(z) = z^3 \\ \\ g(z) = z+1 \\ \end{array} \right\} \quad |f(z)|>|g(z)| \textrm{ para } |z|= 4 \\  \\ \textrm{ pues} \left\{ \begin{array}{l} |f(z)| = |z^3| = 4^3\\ \\ |g(z)| = |z+1|\leq |z| +1 \leq 5 \\ \end{array} \right. \end{array} \)
Según lo visto, podemos decir que la función estudiada no tiene ningún polo exterior y, en consecuencia, la integral considerada es nula.
EJERCICIOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás