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ejercicios resueltos de variable compleja

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Ejercicios de cálculo en variable Compleja

Se demuestra en teoría que si una función es análitica, la suma de todos sus residuos, comprendido el del infinito, es cero. Aplicar lo dicho al cálculo de la integral :
    \(\displaystyle \oint_{|z|=2}\frac{dz}{(z +1)^4(z^2 - 9)(z-4)} \)
- Respuesta 15
Si elegimos los residuos interiores, el proceso resulta difícil, pues necesitamos obtener el residuo de un polo de orden 4 y tendríamos que derivar hasta el 4º orden. Si lo hacemos por los residuos exteriores tenemos que el infinito es un cero de orden 7 y, por tanto, su residuo es cero. Tendremos entonces:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} \oint_{|z|=2}\uparrow \frac{dz}{(z+1)^4(z^2-9)(z-4)} = \\  \\ = 2\pi·i[\textrm{Res}(f,3) +\textrm{Res}(f,-3) + \textrm{Res}(f,4)+ \textrm{Res}(f,\infty) ] \end{array}\)
y cada uno de los residuos vale :
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \textrm{Res}(f,3) = \lim_{z\rightarrow 3}[f(z)(z-3)] = \lim_{z\rightarrow 3}\frac{dz}{(z+1)^4(z+3)(z-4)} =\\= \frac{1}{4^4\times 6 \times(-1)} = - \frac{1}{384} \\
    \\
    \textrm{Res}(f,-3) = \lim_{z\rightarrow -3}[f(z)(z+3)] = \lim_{z\rightarrow -3}\frac{1}{(-2)^4(-6)(-7)} = \frac{1}{575}\\
    \\
    \textrm{Res}(f,4) = \lim_{z\rightarrow 4}[f(z)(z+4)] = \lim_{z\rightarrow -3}\frac{1}{(5)^4(7)} = \frac{1}{4375} \end{array}\)
Con lo que tendremos :
    \(\displaystyle \oint_{|z|=2}\uparrow \frac{dz}{(z+1)^4(z^2-9)(z-4)} = 2\pi·i\left[- \frac{1}{384} + \frac{1}{572} + \frac{1}{4375}\right] \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA
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tema escrito por: José Antonio Hervás