PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMATICAS
ejercicios resueltos de variable compleja

Ver enunciado del ejercicio en:

Ejercicios de variable compleja

Estás en :
Matemáticas y Poesía >

Problemas resueltos

 
Ejercicios de cálculo en variable Compleja - Respuesta 15
Si elegimos los residuos interiores, el proceso resulta difícil, pues necesitamos obtener el residuo de un polo de orden 4 y tendríamos que derivar hasta el 4º orden. Si lo hacemos por los residuos exteriores tenemos que el infinito es un cero de orden 7 y, por tanto, su residuo es cero. Tendremos entonces:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} \oint_{|z|=2}\uparrow \frac{dz}{(z+1)^4(z^2-9)(z-4)} = \\  \\ = 2\pi·i[\textrm{Res}(f,3) +\textrm{Res}(f,-3) + \textrm{Res}(f,4)+ \textrm{Res}(f,\infty) ] \end{array}\)
y cada uno de los residuos vale :
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \textrm{Res}(f,3) = \lim_{z\rightarrow 3}[f(z)(z-3)] = \lim_{z\rightarrow 3}\frac{dz}{(z+1)^4(z+3)(z-4)} =\\= \frac{1}{4^4\times 6 \times(-1)} = - \frac{1}{384} \\
    \\
    \textrm{Res}(f,-3) = \lim_{z\rightarrow -3}[f(z)(z+3)] = \lim_{z\rightarrow -3}\frac{1}{(-2)^4(-6)(-7)} = \frac{1}{575}\\
    \\
    \textrm{Res}(f,4) = \lim_{z\rightarrow 4}[f(z)(z+4)] = \lim_{z\rightarrow -3}\frac{1}{(5)^4(7)} = \frac{1}{4375} \end{array}\)
Con lo que tendremos :
    \(\displaystyle \oint_{|z|=2}\uparrow \frac{dz}{(z+1)^4(z^2-9)(z-4)} = 2\pi·i\left[- \frac{1}{384} + \frac{1}{572} + \frac{1}{4375}\right] \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás