PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMATICAS
ejercicios resueltos de variable compleja

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Ejercicios de cálculo en variable Compleja - Respuesta 14
Primero calculamos la integral por medio de los residuos interiores. Para ello :

    \(z^4 - 1 = 0 \quad ;\quad t^2 - 1 = 0 \Rightarrow t = \pm 1 \; ; \;z = \pm 1 \; ; \; z = \pm i \)
Tenemos 4 ceros simples cuyos residuos valen :

    \(\displaystyle \textrm{ Res}(f,z_i) = \lim_{z\rightarrow z_i}\left[\frac{z(z-z_i)}{z^4 - 1}\right] = \lim_{z\rightarrow z_i}\frac{z_i}{4z^3|_{z_i}}= \frac{1}{4·z_i^2} \)
Y, por tanto:
    \(\displaystyle \oint_{|z|=2}\frac{z·dz}{z^4-1} = 2\pi i \sum \textrm{Res}(f,z_i) = 2\pi·i\left(\frac{1}{4}+ \frac{1}{4}- \frac{1}{4}- \frac{1}{4}\right)= 0 \)
Si desarrollamos la integral por los residuos exteriores tendremos :
    \(\displaystyle \oint_{|z|=2}\frac{z·dz}{z^4-1} = 2\pi·i \left[\sum \textrm{Res}(f,z_k)+\textrm{Res}(f,\infty)\right] \)
En este caso no hay ningún polo exterior al circuito, por lo que,
    \(\displaystyle \sum_{Ext} \textrm{Res}(f,z_k)= 0 \)
Además, el residuo en el infinito también es cero, por ser éste un cero de orden 3. Así, pues, tendremos que la última integral nos da un valor nulo como era de esperar teniendo en cuenta el resultado anterior.
EJERCICIOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás