PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMATICAS
ejercicios resueltos de variable compleja

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Ejercicios de cálculo en variable Compleja - Respuesta 13
. Tomaremos como funcin a estudiar \(f(z) = e^{iz^2}\) f(z) = eiz² , y como circuito el representado en la figura a djunta. Aplicando el teorema de los residuos, y considerando que no hay ningn cero en el recinto, tenemos :


    \(\displaystyle \int_\Upsilon e^{iz^2} dz = 2\pi i\textrm{Res }[f(z), z_k] = 0 = \int_0^A e^{ix^2} dx + \int_A^B + \int_B^0 \)
Para la segunda integral tenemos :
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \left|\int_A^B e^{iz^2}dz\right| = \left|\int_0^{\pi/4} \exp\left(iR^2e^{i2\theta}\right)iRe^{i\theta}\right| \leq \\ \\ \leq \int_0^{\pi/4}\exp(-R^2\sin 2\theta)d\theta \leq \\ \\ \leq Re^{-R^2}\int_0^{\pi/4} \exp\left(- \frac{4 \theta}{\pi}\right)d\theta \rightarrow 0 \end{array}\)
Y esto resulta de que en AB :
    \(\displaystyle \begin{array}{l} z^2 = R^2e^{i2\theta}\quad ; \quad dz = iRe^{i\theta}d\theta \textrm{ con } 0\leq\theta \leq \frac{\pi}{4} \\ \\ \textrm{en }\; 0 \leq 2\theta \leq \frac{\pi}{2} \Rightarrow \sin 2\theta > \frac{4\theta}{\pi} \Rightarrow -\sin 2\theta < - \frac{4\theta}{\pi} \end{array} \)
Nos queda calcular la ltima de las integrales, para la que tenemos:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} z = re^{i(\pi/4)}\quad ; \quad \textrm{con }\; r \in (\infty, 0)\quad ; \quad dz = e^{i(\pi/4)}dr \\ \\ |e^{i(\pi/4)}|= \left|\cos \left(\frac{\pi}{4} \right) + i\sin \left(\frac{\pi}{4} \right) \right| = \left|\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)\right| = 1 \end{array} \)
En consecuencia :
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \int_\infty^0 e^{iz^2}·dz = \int_\infty^0 e^{-ir^2.e^{i(\pi/4)}}e^{i(\pi/4)}·dr = \\ \\ = - e^{i(\pi/4)}\int_\infty^0 e^{-r^2}·dr = \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)\int_\infty^0 e^{-r^2}·dr = \\ \\ = - \frac{\sqrt{2\pi}}{4}(1+i) \end{array} \)
donde nos aparece la integral de Euler, vista en otros problemas. Continuando nos queda :

    \(\displaystyle \begin{array}{l} \int_0^\infty e^{ix^2}dx + \int_\infty^0 e^{iz^2}dz = 0 \Rightarrow \int_0^\infty e^{ix^2}dx = \\ \\ = \int_0^\infty \cos x^2dx + i \int_0^\infty \sin x^2dx =\frac{\sqrt{2\pi}}{4}(1+i) \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \int_0^\infty \cos x^2dx = \int_0^\infty \sin x^2dx = \frac{\sqrt{2\pi}}{4} \end{array} \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás