PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de variable compleja

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Ejercicios de cálculo en variable Compleja - Respuesta 12
Vamos a estudiar la función \(f(z) = e^{-z^2/2}\) sobre el circuito adjunto con lo que tendremos :

    \(\displaystyle \int_\Upsilon e^{-z^2/2}·dz = 2\pi i·\textrm{Res }[f(z), z_k] = 0 \)
y la integral es nula por no haber ningún polo de f(z) en el circuito. Continuando resulta:
    \(\displaystyle \int_\Upsilon e^{-z^2/2}·dz = 0 = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-z^2/2}·dz + \int_B^C + \int_C^D + \int_D^A \)
Y tenemos: en BC.- z = R+i.y , con 0< y < a , dz = i.dy :
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \int_B^C e^{-(R+iy)^2/2}·idy = \int_0^a e^{-(R^2+2iRy-y^2)/2}·idy = \\  \\ = i·e^{-R^2/2}\int_0^a e^{(y^2-2iRy)/2}·idy \end{array}\)
Y la última expresión tiende a cero cuando R tiende a infinito. Aná1ogamente resulta para la última de las integrales, con lo que nos queda, para la tercera : en CD.- z = x + i.a , x en el intervalo (R,-R) :
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \int_C^D = \int_R^{-R} e^{-(x+ia)^2/2}·dx =- \int_R^{-R} e^{-(x^2+2iax - a^2)/2} dx = \\  \\ = e^{-a^2/2} \int_R^{-R} e^{-(x^2+2iax)/2} dx \end{array} \)
De ese modo, finalmente :
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \int_\Upsilon e^{-z^2/2} dz = 0 = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2/2} dx -\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2+2iax)/2} dx \\ \\\Rightarrow \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2/2)-i·ax}·dx = e^{-a^2/2}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2/2}·dx =\\ \\= e^{-a^2/2}·2\sqrt{\pi/2} = \sqrt{2\pi}·e^{-a^2/2} \end{array} \)
siendo la integral \( \displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-x^2/2}·dx\) una que aparece en el estudio de la función Gamma de Euler. Por otro lado , para la función de variable real que estamos estudiando, tenemos :
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \int_0^{+\infty} e^{-x^2/2}·\cos ax·dx = \int_0^{+\infty} e^{-x^2/2}\frac{e^{iax}+ e^{-iax}}{2}dx = \\
    \\
    \frac{1}{2}\int_0^{+\infty} e^{-(x^2/2)+iax}·dx + \frac{1}{2}\int_0^{+\infty} e^{-(x^2/2)-iax}·dx
    \end{array} \)
Pero el primer integrando es una función par que nos permite continuar la igualdad en la forma :
    \(\displaystyle\begin{array}{l}
    \int_0^{+\infty} e^{-x^2/2}·\cos ax·dx = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^0 e^{-(x^2/2)-iax}·dx + \\
    \\
    + \frac{1}{2}\int_0^{+\infty}e^{-(x^2/2)-iax}·dx = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x^2/2)-iax}·dx
    \end{array} \)
con lo que finalmente resulta :
    \(\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-x^2/2}·\cos ax dx = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2/2)-iax} dx = \frac{1}{2}e^{-a^2/2}·\sqrt{2\pi}\)
EJERCICIOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás