PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMATICAS
ejercicios resueltos de variable compleja

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Ejercicios de cálculo en variable Compleja - Respuesta 11
. El método general para este tipo de integrales es estudiar la función de variable compleja (log z) ²/(z4 + 1) , con lo que tendremos :
    \(\displaystyle \int_{\Upsilon} \frac{(\log z)^2}{1+z^4}dz = 2\pi i \sum_{z\neq 0}\textrm{Res}\left[\frac{(\log z)^2}{1+z^4}, z_k\right] \)
y las raíces del denominador son :
    \( 1 + z^4 = 0 \Rightarrow 1 + s^2 = 0 \Rightarrow s = ±i \Rightarrow z = ± \sqrt{i}\; ;\; z = ± \sqrt{-i} \)
En general, para obtener las raíces de za , con a = l/n , tenemos :
    \(\displaystyle \begin{array}{l} z^a = e^{a·\log z} = e^{(1/n)(\log |z| + i·\textrm{arg} z)} = |z|^{(1/n)}· e^{ i(\textrm{arg} z/n)} = \\ \\ |z|^{(1/n)}· e^{ i(\textrm{arg} z + 2\pi·k/n)} \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|}\left(\cos \frac{\textrm{Arg z + }2\pi·k}{n} + \sin \frac{\textrm{Arg z + }2\pi·k}{n}\right) \end{array} \)
y esto nos da en nuestro caso :
    \( \sqrt{i} = e^{i(\pi/4)} \;; \; - \sqrt{i} = e^{i(3\pi/4)} \;; \;\sqrt{-i} = e^{i(5\pi/4)} ; - \sqrt{-i} = e^{i(7\pi/4)} \)

Por lo que, considerando que los polos son todos simples, tendremos para los residuos :
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \textrm{Res}\left[\frac{(\log z)^2}{1+z^4}, z_k\right] = \lim_{z\rightarrow z_1}[f(z)·(z-z_k)] = \\  \\ = (\log z_k)^2\frac{1}{4·z_k^3} = - \frac{(\log z_k)^2}{4}z_k \end{array}\)
El último paso se explica como sigue (por ejemplo, para zk = √i = ei(π/4) ) :
    \(\displaystyle \frac{1}{z_k^3} = \frac{1}{(\sqrt{i})^3} = - \frac{i}{\sqrt{i}} = -\sqrt{i} = - z_k \)
Sustituyendo cada zk en la expresión obtenida y llevando a la integral, tenemos :
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \int_0^\infty \frac{\log x}{1 + x^4}dx = \frac{1}{2}·\textrm{Re}\left\{2\pi i\left[\frac{1}{4}\frac{\pi^2}{16} e^{i(\pi/4)} - \frac{1}{4}\frac{9\pi^2}{16} e^{i(3\pi/4)} + \cdots \right.\right. \\
    \\
    \left.\left.\frac{1}{4}\frac{25·\pi^2}{16} e^{i(5·\pi/4)} - \frac{1}{4}\frac{49·\pi^2}{16}·e^{i(7\pi/4)} \right]\right\}= \\
    = \frac{\pi^3}{64}·\textrm{Re} \left[i\left(e^{i(\pi/4)}- 9·e^{i(3\pi/4)}+ 25·e^{i(5\pi/4)} - 49·e^{i(7\pi/4)}\right)\right]=
    \\
    = \frac{\pi^3}{64}\left(-\sin \left(\frac{\pi}{4} \right)+ 9 ·\sin \left(\frac{3\pi}{4} \right)- 25 \sin \left(\frac{5\pi}{4} \right)+ 49 \sin \left(\frac{7\pi}{4} \right) \right)
    \end{array} \)
que es el resultado buscado.
EJERCICIOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás