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ejercicios resueltos de variable compleja

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Ejercicios de cálculo en variable Compleja - Respuesta 10
Según hemos visto en el ejemplo anterior, los dos números complejos de la forma:
    \(\sqrt[n]{|a|}\left[\cos \psi (r) + i\, \sin \psi (r)\right] \; \quad \psi(r) = \displaystyle \frac{\theta}{2} + 2 \pi \frac{r}{2} \; con \; r = 0, 1 \)
Donde \(|a|\) es el módulo y \(\theta \) el argumento principal, son las dos soluciones distintas de la ecuación \( x^2 = a \). De todos modos, cuando tenemos una expresión bajo el signo de la raiz cuadrada como es el caso que nos ocupa, podemos resolver el problema planteado igualando la expresión dada a una general en forma binomia:
    \( \sqrt{3 + 4 i\, } = a + b i\, \)
Donde a y b son números reales arbitrarios. Elevando al cuadrado los dos miembros de la ecuación planteada:
    \( 3 + 4 i\, = a^2 - b^2 + 2\,a\,b i\, \)
Desarrollando e igualando términos reales y complejos:
    \( a^2 - b^2 = \displaystyle 3 \quad ; \quad 2\,a\,b = 4 \rightarrow a\,b = 2 \rightarrow b = \frac{2}{a}\)
Sustituyendo el valor obtenido para b en la primera de las dos últimas ecuaciones:
    \( \displaystyle a^2 - \left(\frac{2}{a}\right) = 3 \Rightarrow a^4 - 4 = 3\,a^2 \)
Poniendo \(a^2 = x \) podemos resolver la ecuación como una de segundo grado para obtener:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} x^2 - 3x - 4 =0 \quad ; \\  \\ x = \pm \frac{1}{2}\left(1 \pm \sqrt{( 3^2 + 4 4)} \right) \rightarrow x_1 = 4 \quad ; \quad x_2 = -1 \end{array} \)
De los dos valores resultantes solo será válido el primero de ellos pues el otro nos daría un valor imaginaria para \(a\) que hemos dicho que es real. A partir de los valores posibles para \(a\) tendremos para b:
    \( b = \displaystyle \frac{2}{a}= \pm 1\)
Y finalmente:
    \( \sqrt{3 + 4 i\, } = \pm (2+i\, ) \)
para el segundo de los ejemplos tendremos:
    \( \sqrt{1 - i\, } = a + b i\, \)
Donde, como antes, a y b son números reales arbitrarios. Elevando al cuadrado los dos miembros de la ecuación:
    \( 1 - i\, = a^2 - b^2 + 2\,a\,b i\, \)
Desarrollando e igualando términos reales y complejos:
    \( a^2 - b^2 = 1 \displaystyle \quad ; \quad 2\,a\,b = -1 \rightarrow b = - \frac{1}{2\,a}\)
Y a partir de ahí, para b en la primera de las dos últimas ecuaciones:
    \( \displaystyle a^2 - \left(- \frac{1}{2\,a}\right) = 1 \Rightarrow 4 a^4 - 1 = 4\,a^2 \)
Operando como hemos hecho en la primera parte, llegamos al resultado:
    \( \sqrt{1 - i\, } = \displaystyle \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\sqrt{\sqrt{2}+1} - i\, \sqrt{\sqrt{2}-1} \right] \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás