PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de variable compleja

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Ejercicios de cálculo en variable Compleja - Respuesta 9
Por el teorema fundamental del álgebra, sabemos que toda ecuación algebraica de grado n tiene n soluciones.

Los números complejos de la forma:
    \( \begin{array}{l} \sqrt[n]{|a|}\left[\cos \psi (r) + i\, \sin \psi (r)\right] \\  \\ \quad \quad \psi(r) = \displaystyle \frac{\theta}{n} + 2 \pi \frac{r}{n} \; con \; r = 0, 1, , n-1 \end{array} \)
Son distintos dos a dos y forman las n soluciones de la ecuación \( x^n = a \). De ese modo, para los ejemplos a resolver tendremos, en primer lugar:
    \( x^2 = -1 \rightarrow |x(r)|^2 = 1 \quad ; \quad \psi(r) = \displaystyle \frac{\pi}{2} + 2 \pi \frac{r}{n} \; con \;r = 0, 1 \)
Y sustituyendo valores:
    \( |x(0)| = |x(1)| = 1 \quad ; \quad \psi(0) = \displaystyle \frac{\pi}{2} \; ; \; \psi(1) = \frac{3 \pi}{2}\)
O lo que es igual:
    \(x(0) = \displaystyle \cos \frac{\pi}{2} + i\, \sin \frac{\pi}{2} = i\, \quad ; \quad x(1) = \cos \frac{3 \pi}{2} + i\, \sin \frac{3 \pi}{2} = - i\, \)
y para el segundo ejemplo:
    \( x^3 = i\, \rightarrow |x(r)|^3 = 1 \quad ; \quad \psi(r) = \displaystyle \frac{\pi}{6} + 2 \pi \frac{r}{3} \; con \; r = 0, 1, 2\)
Y tomando valores numéricos:
    \( |x(0)| = |x(1)| = |x(2)| = 1 \quad ; \quad \displaystyle \psi(0) = \frac{\pi}{6} \; ; \; \psi(1) = \frac{5 \pi}{6} \; ; \; \psi(2) = \frac{9 \pi}{6}\)
Y finalmente:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} x(0) = \cos \frac{\pi}{6} + i\, \sin \frac{\pi}{6} \; ; \\  \\ x(1) = \cos \frac{5 \pi}{6} + i\, \sin \frac{5 \pi}{6} \; ; \; x(2) = \cos \frac{9 \pi}{6} + i\, \sin \frac{9 \pi}{6} \end{array} \)
O equivalentemente
    \(x(0) = \displaystyle + \frac{\sqrt{3}}{2} + i\, \frac{1}{2} \quad ; \quad x(1) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + i\, \frac{1}{2} \quad ; \quad x(2) = - i\, \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás