Ejercicios de cálculo en variable Compleja

Comprobar mediante el correspondiente cálculo que los valores de la función de variable compleja z dada por:

\( \displaystyle \frac{z}{z^2 + 1}\)

para \(z = x + i\,x \) y \(z = x - i\,y \) son conjugados

- Respuesta 8

Siendo \(z = x + i\,y\), sea \(f(z)\) la función de variable compleja dada por:

\( \displaystyle f(z) = \frac{z}{z^2 + 1} \)

Vamos a obtener el complejo conjugado de \(f(z)\). Tenemos:

\( \displaystyle \begin{array}{l} \overline{f(z)} = \overline{\frac{z}{z^2 + 1}} = \bar{z} · \overline{\frac{1}{z^2 + 1}} = \bar{z} · \frac{1}{\overline{z^2 + 1}} = \\  \\ = \bar{z} · \frac{1}{\overline{z^2} + 1} = \bar{z} · \frac{1}{\bar{z}^2 + 1} = \frac{\bar{z}}{\bar{z}^2 + 1} \end{array} \)

Y sustituyendo el valor de la variable z según su equivalencia dada por \(z = x + i\, y\):

\( \displaystyle \overline{f(z)} = \frac{\bar{z}}{\bar{z}^2 + 1} =\frac{\overline{x+i\,y}}{\left[\overline{x+i\,y}\right]^2 + 1}
= \frac{x - i\,y}{(x-i\,y)^2 + 1}\)

Con lo que si tomamos ahora el cambio de variable \(z = x - i\,y \) nos queda :

\( \displaystyle \overline{f(z)} = f(\bar{z}) = \frac{z}{z^2 + 1}\)

Como queríamos demostrar.