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ejercicios resueltos de variable compleja

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Ejercicios de cálculo en variable Compleja - Respuesta 8
Siendo \(z = x + i\,y\), sea \(f(z)\) la función de variable compleja dada por:
    \( \displaystyle f(z) = \frac{z}{z^2 + 1} \)
Vamos a obtener el complejo conjugado de \(f(z)\). Tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \overline{f(z)} = \overline{\frac{z}{z^2 + 1}} = \bar{z} \overline{\frac{1}{z^2 + 1}} = \bar{z} \frac{1}{\overline{z^2 + 1}} = \\  \\ = \bar{z} \frac{1}{\overline{z^2} + 1} = \bar{z} \frac{1}{\bar{z}^2 + 1} = \frac{\bar{z}}{\bar{z}^2 + 1} \end{array} \)
Y sustituyendo el valor de la variable z según su equivalencia dada por \(z = x + i\, y\):
    \( \displaystyle \overline{f(z)} = \frac{\bar{z}}{\bar{z}^2 + 1} =\frac{\overline{x+i\,y}}{\left[\overline{x+i\,y}\right]^2 + 1}
    = \frac{x - i\,y}{(x-i\,y)^2 + 1}\)
Con lo que si tomamos ahora el cambio de variable \(z = x - i\,y \) nos queda :
    \( \displaystyle \overline{f(z)} = f(\bar{z}) = \frac{z}{z^2 + 1}\)
Como queríamos demostrar.
EJERCICIOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás