Ejercicios de cálculo en variable
Compleja
Si \(z = x + i\, y \) obtener las partes real e imaginaria de
las siguientes expresiones:
\(\displaystyle \frac{1}{z} \quad ; \quad \frac{z-1}{z+1}\)
- Respuesta 7
Cuando tenemos una expresión como las que nos han dado
en el enunciado, sustituimos la variable z por su valor equivalente
dado en función de las variables x e y, y en el caso de
tener términos fraccionarios, racionalizar los denominadores.
Para el primero de los ejemplos podemos escribir entonces:
\(\displaystyle \frac{1}{z} = \frac{1}{x+i\, \, y} = \frac{x
-i\, \, y}{x^2 + y^2} = \frac{x}{x^2 + y^2} - i\, \, \frac{y}{x^2
+ y^2}\)
Y para el segundo ejemplo:
\( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{z-1}{z+1} = \frac{x
+ i\, \, y - 1 }{x + i\, \, y + 1} = \frac{(x + i\, \, y - 1)(x
- i\, \, y + 1) }{(x + i\, \, y + 1)(x - i\, \, y + 1)} = \\
\\ = \frac{x^2 + y^2 + 2\, i\, \,y - 1}{(x+1)^2 + y^2} \end{array}\)
Y tomando valores reales e imaginarios:
\(\displaystyle \frac{z-1}{z+1} = \frac{x^2 + y^2 - 1}{(x+1)^2
+ y^2} + i\, \, \frac{2\, y}{(x+1)^2 + y^2}\)
EJERCICIOS
RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA |
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