Ejercicios de cálculo en variable Compleja

Si \(z = x + i\, y \) obtener las partes real e imaginaria de las siguientes expresiones:

\(\displaystyle \frac{1}{z} \quad ; \quad \frac{z-1}{z+1}\)

- Respuesta 7

Cuando tenemos una expresión como las que nos han dado en el enunciado, sustituimos la variable z por su valor equivalente dado en función de las variables x e y, y en el caso de tener términos fraccionarios, racionalizar los denominadores. Para el primero de los ejemplos podemos escribir entonces:

\(\displaystyle \frac{1}{z} = \frac{1}{x+i\, \, y} = \frac{x -i\, \, y}{x^2 + y^2} = \frac{x}{x^2 + y^2} - i\, \, \frac{y}{x^2 + y^2}\)

Y para el segundo ejemplo:

\( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{z-1}{z+1} = \frac{x + i\, \, y - 1 }{x + i\, \, y + 1} = \frac{(x + i\, \, y - 1)(x - i\, \, y + 1) }{(x + i\, \, y + 1)(x - i\, \, y + 1)} = \\  \\ = \frac{x^2 + y^2 + 2\, i\, \,y - 1}{(x+1)^2 + y^2} \end{array}\)

Y tomando valores reales e imaginarios:

\(\displaystyle \frac{z-1}{z+1} = \frac{x^2 + y^2 - 1}{(x+1)^2 + y^2} + i\, \, \frac{2\, y}{(x+1)^2 + y^2}\)