PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de variable compleja

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Ejercicios de cálculo en variable Compleja - Respuesta 6
Al número complejo \(a\) cuya expresión binómica es \(a_1 + i\, a_2 \) le podemos asociar un punto de coordenadas \((a_1, a_2)\) llamado afijo cuya distancia desde el origen permite representar el módulo de \(a\) en la forma.
    \( |a| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \)
Por otra parte, la representación geométrica del número complejo \(a\) nos permite considerar el ángulo \( \theta \) (orientado en sentido contrario al del movimiento de las agujas del reloj) determinado por el semieje positivo horizontal y el segmento orientado de longitud igual al módulo de \( a\) y que verifica la relación:
    \( 0 \leq \theta < 2 \pi \)
El ángulo \(\theta\) definido de ese modo se denomina argumento principal del número compejo \( a \). Conociendo la expresión binomica del número complejo \( a \) y teniendo en cuenta lo dicho, es fácil ver que se cumple:
    \( a_1 = |a| \cos \theta \quad ; \quad a_2 = |a| \sin \theta \)
Con todo lo anterior podemos hacer, para los módulos
    \( |3 i\, | = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3 \quad ; \quad |1 + i\, | = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \)

    \(|2 - 5 i\, | = \sqrt{2^2 + (-5)^2} = \sqrt{29} \)
y para los argumentos:
    \( 3 i\, \rightarrow \cos \theta = \displaystyle \frac{a_1}{|a|} = \frac{3}{3} = 1 \rightarrow \theta = \frac{\pi}{2} radianes = 90 º \)

    \( 1 + i\, \rightarrow \cos \theta = \displaystyle \frac{a_1}{|a|} = \frac{1}{\sqrt {2}} \rightarrow \theta = \frac{\pi}{4} radianes = 45º \)
Para el tercer caso podemos hacer:
    \( \tan \theta = \displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{a_2}{a_1} = \frac{5}{2} \Rightarrow \theta = \arctan \left(\frac{5}{2}\right) radianes \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás