Problemas y ejercicios resueltos de Variable compleja. Ejercicio cuatro con su respuesta

Sea f(z) una función análitica en un dominio D, y sea C el contorno de dicho dominio. Si z₁,… , z_k son polos exteriores, se demuestra que podemos escribir:

donde el símbolo

indica que la integral se hace en sentido negativo. Teniendo en cuenta lo anterior podemos escribir :

y tenemos :

Si z = es cero de primer orden, entonces : Res(f, ) = -Lím z.f(z) (cuando z )
Si z = es cero de orden > , entonces : Res(f, ) = 0
Si z = es polo de orden n, entonces : Res(f, ) = - Res[(1/z² ).f(z) , 0]

Como aplicación a estos conceptos calcúlese la integral :

Respuesta

Primero calculamos la integral por medio de los residuos interiores. Para ello :

Tenemos 4 ceros simples cuyos residuos valen :

Y, por tanto:

Si desarrollamos la integral por los residuos exteriores tendremos :

En este caso no hay ningún polo exterior al circuito, por lo que

. Además, el residuo en el infinito también es cero, por ser éste un cero de orden 3. Así, pues, tendremos que la última integral nos da un valor nulo como era de esperar teniendo en cuenta el resultado anterior.