Ejercicios de cálculo en variable Compleja - Respuesta 2

Para calcular la potencia del número complejo dado a partir de su forma binomia, hacemos :

\(z^6 = \left(2 + \displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}} · i\, \right)^6 \)

Y desarrollando:

\( \displaystyle \begin{array}{l} z^6 = 2^6 + \left( \begin{array}{c} 6 \\ 1 \\ \end{array} \right) 2^5 \frac{2}{\sqrt{3}} i\, + \left( \begin{array}{c} 6 \\ 2\\ \end{array} \right) 2^4 \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^2 (i\, )^2 + \left( \begin{array}{c} 6 \\ 3\\ \end{array} \right) 2^3 \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^3 (i\, )^3 + \cdots \\  \\ + \left( \begin{array}{c} 6 \\ 4\\ \end{array} \right) 2^2 \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^4 (i\, )^4 + \left( \begin{array}{c} 6 \\ 5\\ \end{array} \right) 2 \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^5 (i\, )^5 + \left( \begin{array}{c} 6 \\ 6\\ \end{array} \right) \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^6 (i\, )^6 \end{array}\)

Agrupando, por una parte, los términos reales y por otra los términos imaginarios y teniendo en cuenta que se verifica axiomáticamente i·i = -1, nos queda finalmente:

\(z^6 = \displaystyle - \frac{4096}{27} + 0 · i\, \)

Y resulta que la sexta potencia del número complejo dado es un número real.

Para obtener la sexta potencia del número complejo dado en forma trigonométrica, tenemos en cuenta el resultado del ejercicio número 1:

\(z = \displaystyle \frac{4}{\sqrt{3}}\left[\cos \left(\frac{\pi}{6}+ 2k\pi\right)+ i\, · \sin \left(\frac{\pi}{6}+ 2k\pi\right) \right]\)

y aplicamos la fórmula de Moivre:

\(z^n = ( \cos \theta + i\, · \sin \theta)^n = \cos \; n \theta + i\, · \sin \; n \theta \)

con lo cual:

\(z^6 = \displaystyle \left[\frac{4}{\sqrt{3}}\left[\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)+ i\, · \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)\right] \right]^6 = \frac{4096}{27}( \cos \pi + i\, · \sin \pi) \)