PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMATICAS
ejercicios resueltos de variable compleja

Ver enunciado del ejercicio en:

Ejercicios de variable compleja

Estás en :
Matemáticas y Poesía >

Problemas resueltos

 
Ejercicios de cálculo en variable Compleja

Calcular la sexta potencia del número complejo dado por :
    \(z = 2 + \displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}} i\, \)
Expresando el resultado en forma binomia y en forma trigonométrica.

- Respuesta 2
Para calcular la potencia del número complejo dado a partir de su forma binomia, hacemos :
    \(z^6 = \left(2 + \displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}} i\, \right)^6 \)
Y desarrollando:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} z^6 = 2^6 + \left( \begin{array}{c} 6 \\ 1 \\ \end{array} \right) 2^5 \frac{2}{\sqrt{3}} i\, + \left( \begin{array}{c} 6 \\ 2\\ \end{array} \right) 2^4 \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^2 (i\, )^2 + \left( \begin{array}{c} 6 \\ 3\\ \end{array} \right) 2^3 \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^3 (i\, )^3 + \cdots \\  \\ + \left( \begin{array}{c} 6 \\ 4\\ \end{array} \right) 2^2 \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^4 (i\, )^4 + \left( \begin{array}{c} 6 \\ 5\\ \end{array} \right) 2 \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^5 (i\, )^5 + \left( \begin{array}{c} 6 \\ 6\\ \end{array} \right) \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^6 (i\, )^6 \end{array}\)
Agrupando, por una parte, los términos reales y por otra los términos imaginarios y teniendo en cuenta que se verifica axiomáticamente i·i = -1, nos queda finalmente:
    \(z^6 = \displaystyle - \frac{4096}{27} + 0 i\, \)
Y resulta que la sexta potencia del número complejo dado es un número real.

Para obtener la sexta potencia del número complejo dado en forma trigonométrica, tenemos en cuenta el resultado del ejercicio número 1:
    \(z = \displaystyle \frac{4}{\sqrt{3}}\left[\cos \left(\frac{\pi}{6}+ 2k\pi\right)+ i\, \sin \left(\frac{\pi}{6}+ 2k\pi\right) \right]\)
y aplicamos la fórmula de Moivre:
    \(z^n = ( \cos \theta + i\, \sin \theta)^n = \cos \; n \theta + i\, \sin \; n \theta \)
con lo cual:
    \(z^6 = \displaystyle \left[\frac{4}{\sqrt{3}}\left[\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)+ i\, \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)\right] \right]^6 = \frac{4096}{27}( \cos \pi + i\, \sin \pi) \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA
Otros usuarios de Matemáticas y poesía también han visto:




tema escrito por: José Antonio Hervás