Ejercicios de cálculo en variable
Compleja
Calcular la sexta potencia del número complejo dado por
:
\(z = 2 + \displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}} · i\, \)
Expresando el resultado en forma binomia y en forma trigonométrica.
- Respuesta 2
Para calcular la potencia del número complejo dado a partir
de su forma binomia, hacemos :
\(z^6 = \left(2 + \displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}} · i\, \right)^6
\)
Y desarrollando:
\( \displaystyle \begin{array}{l} z^6 = 2^6 + \left( \begin{array}{c}
6 \\ 1 \\ \end{array} \right) 2^5 \frac{2}{\sqrt{3}} i\, + \left(
\begin{array}{c} 6 \\ 2\\ \end{array} \right) 2^4 \left( \frac{2}{\sqrt{3}}
\right)^2 (i\, )^2 + \left( \begin{array}{c} 6 \\ 3\\ \end{array}
\right) 2^3 \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^3 (i\, )^3 + \cdots
\\ \\ + \left( \begin{array}{c} 6 \\ 4\\ \end{array} \right)
2^2 \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^4 (i\, )^4 + \left( \begin{array}{c}
6 \\ 5\\ \end{array} \right) 2 \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^5
(i\, )^5 + \left( \begin{array}{c} 6 \\ 6\\ \end{array} \right)
\left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^6 (i\, )^6 \end{array}\)
Agrupando, por una parte, los términos reales y por otra
los términos imaginarios y teniendo en cuenta que se verifica
axiomáticamente i·i = -1, nos queda finalmente:
\(z^6 = \displaystyle - \frac{4096}{27} + 0 · i\, \)
Y resulta que la sexta potencia del número complejo dado
es un número real.
Para obtener la sexta potencia del número complejo dado
en forma trigonométrica, tenemos en cuenta el resultado
del ejercicio número 1:
\(z = \displaystyle \frac{4}{\sqrt{3}}\left[\cos \left(\frac{\pi}{6}+
2k\pi\right)+ i\, · \sin \left(\frac{\pi}{6}+ 2k\pi\right) \right]\)
y aplicamos la fórmula de Moivre:
\(z^n = ( \cos \theta + i\, · \sin \theta)^n = \cos \; n \theta
+ i\, · \sin \; n \theta \)
con lo cual:
\(z^6 = \displaystyle \left[\frac{4}{\sqrt{3}}\left[\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)+
i\, · \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)\right] \right]^6 = \frac{4096}{27}(
\cos \pi + i\, · \sin \pi) \)