Ejercicios de cálculo en variable Compleja - Respuesta 2

Vamos a estudiar la función f(z) = e^-z²/2 sobre el circuito adjunto con lo que tendremos :



y la integral es nula por no haber ningún polo de f(z) en el circuito. Continuando resulta:



Y tenemos: en BC.- z = R+i.y , con O < y < a , dz = i.dy :



Y la última expresión tiende a cero cuando R tiende a infinito. Aná1ogamente resulta para la última de las integrales, con lo que nos queda, para la tercera : en CD.- z = x + i.a , x en el intervalo (R,-R) :



De ese modo, finalmente :



siendo la integral una que aparece en el estudio de la función Gamma de Euler. Por otro lado , para la función de variable real que estamos estudiando, tenemos :



Pero el primer integrando es una función par que nos permite continuar la igualdad en la forma :



con lo que finalmente resulta :