Ejercicios de cálculo en variable
Compleja
Sea el número complejo z expresado en forma binomia :
\(z = 2 + \displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}} ˇ i\, \)
obtenerlo en su forma trigonométrica.
- Respuesta 1
El número complejo dado en su forma binomial, está
localizado en el primer cuadrante del plano de Gauss puesto que
sus dos componentes, real e imaginaria, son positivas.
Para obtener su forma trigonométrica tenemos que calcular
su módulo y su argumento, de acuerdo a las expresiones
siguientes:
\(\rho = \sqrt{a^2 + b^2} \qquad ; \qquad \theta = \displaystyle
\arctan \left(\frac{b}{a}\right) + 2k \pi = \alpha + 2k\pi \)
Ya que se cumple:
\(z = \rho \left(\cos \theta + i\, ˇ \sin \theta\right) \)
Y sustituyendo valores núméricos:
\(\displaystyle \begin{array}{l} \rho = \sqrt{2^2 + \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2}
= \frac{4}{\sqrt{3}} \quad ; \\ \\ \tan \alpha = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)
\; ; \; \alpha = \frac{\pi}{6} \textrm{ rad } \rightarrow \theta
= \frac{\pi}{6}+ 2k\pi \end{array} \)
con lo cual:
\(z = \displaystyle \frac{4}{\sqrt{3}}\left[\cos \left(\frac{\pi}{6}+
2k\pi\right)+ i\, ˇ \sin \left(\frac{\pi}{6}+ 2k\pi\right) \right]\)
Y tenemos al número complejo z expresado en forma trigonométrica