Ejercicios de cálculo en variable Compleja - Respuesta 1

. El método general para este tipo de integrales es estudiar la función de variable compleja (log z) ²/(z⁴ + 1) , con lo que tendremos :



y las raíces del denominador son :

1 + z⁴ = 0 ⇒ 1 + s² = 0 ⇒ s = ±i ⇒ z = ± √i ; z = ± √- i ;

En general, para obtener las raíces de z^a , con a = l/n , tenemos :



y esto nos da en nuestro caso :

√i = e^i(π/4) ; - √i = e^i(3π/4) ; √- i = e^i(5π/4) ; - √- i = e^i(7π/4)

Por lo que, considerando que los polos son todos simples, tendremos para los residuos :



El último paso se explica como sigue (por ejemplo, para z_k = √i = e^i(π/4) ) :



Sustituyendo cada z_k en la expresión obtenida y llevando a la integral, tenemos :



que es el resultado buscado.