PROBLEMAS RESUELTOS
DE AUTOMÁTICA
regulación y control
diagramas de flujo
funciones de transferencia

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Ejercicios de regulación automática

    Respuesta al ejercicio 30
A partir de la función de transferencia en lazo abierto, en notación de Laplace, obtenemos la expresión:

    \( \displaystyle G(s) = \frac{s-2}{s(s+2)} \Rightarrow G(z) = \frac{-(2 - e^{2T})z}{(z-1)(z+e^{2T})} \)
Donde hemos aplicado la fórmula de los residuos, por ser G(s) una función racional que se anula para s tendiendo a infinito.
    \( \displaystyle G(z) = \sum\left[Res \frac{X(s)z}{(z - e^{Ts})}en \;los\; polos\; de\; X(s)\right] \)
Obtenida la función de transferencia pulsada del sistema en lazo abierto, su ecuación característica será:
    \( (z-1)(z - e^{-2T}) - (2 - e^{-2T})z = 0 \Rightarrow z^2 - 3z + - e^{-2T} = 0 \)
Para determinar si el sistema es inestable en las condiciones dadas, aplicamos el criterio de Ruth. Para ello consideramos antes la transformación bilineal:
    \( \displaystyle z = \frac{r+1}{r-1} \)
Que transforma las regiones \(|z|<1 \; ; \; |z|= 0\; y \; |z|>1 \) del plano Z en la regiones \(\Re|r|<1 \; ; \; \Re|r|= 0\; y \; \Re|r|>1 \) del plano r, respectivamente, y nos permite aplicar el criterio en la forma ya conocida de los sistemas continuos.
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \left(\frac{r+1}{r-1}\right)^2 - 3 \left(\frac{r+1}{r-1}\right) + e^{-1} = 0\; ; \\  \\ (e^{-1} - 2)r^2 + 2(1 - e^{-1} ) + (4 + e^{-1} ) = 0 \end{array}\)
El algoritmo de Routh – Hurwitz nos permite escribir:
    \( \begin{array}{l} r^2 \\ \\ r^1 \\ \\ r^0 \end{array}\left| \begin{array}{cc} (e^{-1} - 2) & (4 + e^{-1}) \\ \\ 2(1 - e^{-1}) & 0 \\ \\ (4 + e^{-1}) & 0 \\ \end{array} \right. \)
Y puesto que no todos los coeficientes de la primera columna de la tabla tienen el mismo signo, podemos decir que el sistema no es estable
EJERCICIOS RESUELTOS DE REGULACIÓN Y CONTROL AUTOMÁTICO PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás