PROBLEMAS RESUELTOS
DE AUTOMÁTICA
regulación y control
diagramas de flujo
funciones de transferencia

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Ejercicios de regulación automática

    Respuesta al ejercicio 24
La función de transferencia en lazo abierto se puede escribir :
    \( \displaystyle G(s) = \frac{1}{s(s+1)^2 + 1} \)
Y vemos que posee los polos en los puntos:

    \( s = 0\quad ; \quad s = -1+i \quad ; \quad -1-i\)
Ninguno de estos polos tiene parte real positiva, por lo tanto, para que el sistema sea estable, el lugar de Nyquist de G(s) no ha de redear ninguna vez en el sentido de las agujas del reloj, al punto (-1, j·0). Veamos que esto es así construyendo el diagrama de Nyquisr.
En realidad no es necesario que construyamos el diagrama entero ni no únicamente observar si el punto (-1,j·0) está redeado por él. Según eso, consideramos s = j·w y esto nos da en la función de transferencia:
    \( \displaystyle G(jw) = \frac{1}{jw^3 - 2w^2 + 2jw} = -\frac{2w^2 + j(2w-w^3)}{4w^3+w(2-w^2)^2} \)
La intersección con el eje real la obtenemos igualando a cero la parte imaginaria de esta expresión, es decir:
    \( \displaystyle - \frac{2-w^2)}{4w^3+w(2-w^2)^2} = 0 \Rightarrow w = \pm \sqrt{2} \)
Y estos valores corresponden a las frecuencias para las que se corta el eje real del plano G(s). Las intersecciones con dicho eje son:
    \( \displaystyle - \frac{2-w^2)}{4w^3+w(2-w^2)^2} = 0 \Rightarrow w = \pm \sqrt{2} \)
Según eso el diagrama de Nyquist será como el representado en la figura adjunta y el sistema estudiado es estable, puesto que el punto (-1+j·0) no está rodeado por el lugar de Nyquist de la función de transferencia considerada.
EJERCICIOS RESUELTOS DE REGULACIÓN Y CONTROL AUTOMÁTICO PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás