PROBLEMAS RESUELTOS
DE AUTOMÁTICA
regulación y control
diagramas de flujo
funciones de transferencia

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Ejercicios de regulación automática

    Respuesta al ejercicio 25
Para la realización directa podemos tomar, por ejemplo:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} G(s) = \frac{2(s+3)}{(s+1)(s+2)} = \\  \\ = \frac{2}{s+1}\times\frac{1}{(s+2)}\times (s+3) = \frac{\hat{X}_1(s)}{\hat{U}(s)}\times \frac{\hat{X}_2(s)}{\hat{X}_1(s)}\times \frac{\hat{Y}(s)}{\hat{X}_2(s)} \end{array}\)
Y a partir de ahí:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{1}{(s+1)} = \frac{\hat{X}_1(s)}{\hat{U}(s)} \Rightarrow 2\hat{U}(s)= (s+1)\hat{X}_1(s)\Rightarrow \dot{x}_1 = -x_1 + 2u \\ \\ \frac{1}{(s+2)} = \frac{\hat{X}_2(s)}{\hat{X}_1(s)}\Rightarrow \hat{X}_1(s)= (s+2)\hat{X}_2(s)\Rightarrow \dot{x}_2 = x_1 - 2x_2 \\ \\ (s+3) = \frac{\hat{Y}(s)}{\hat{X}_2(s)} \Rightarrow \hat{Y}(s)= (s+3)\hat{X}_2(s)\Rightarrow y = \dot{x}_2 + 3x_2 = x_1 + x_2 \end{array} \)
Con lo que tendremos:

    \( \displaystyle \begin{array}{c} \vec{\dot{x}}= \left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 1 & -2 \\ \end{array} \right)\vec{x}+ \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ \end{array} \right)\vec{u} \\ \\ y = (1\quad 1)\vec{x} \end{array} \)
Para la descomposición en paralelo, desarrollamos en fracciones simples la función de transferencia:

    \( \displaystyle G(s) = \frac{2(s+3)}{(s+1)(s+2)} = \frac{A}{(s+1)} + \frac{B}{(s+2)}= \frac{4}{(s+1)} - \frac{2}{(s+2)} \)
Podemos tomar entonces:

    \( \displaystyle \begin{array}{c} \frac{\hat{X}_1(s)}{\hat{U}(s)} = \frac{1}{(s+1)}\Rightarrow \hat{U}(s) = (s+1)\hat{X}_1(s)\Rightarrow \dot{x}_1 = u - x_1 \\ \\ \\ \frac{\hat{X}_2(s)}{\hat{U}(s)} = \frac{1}{(s+2)}\Rightarrow \hat{U}(s) = (s+2)\hat{X}_2(s)\Rightarrow \dot{x}_2 = u - x_2 \end{array} \)
Y resulta:
    \( \displaystyle \begin{array}{c} \vec{\dot{x}}= \left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 1 & -2 \\ \end{array} \right)\vec{x}+ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \end{array} \right)\vec{u} \\ \\ y = (4\quad -2)\vec{x} \end{array} \)
Finalmente, la descomposición en cascada la hacemos como sigue:

    \( \displaystyle G(s) = \frac{\hat{Y}(s)}{\hat{U}(s)} = \frac{2(s+3)}{(s+1)(s+2)}\times \frac{\hat{X}_1(s)}{\hat{X}_1(s)} \)
E identificando términos:
    \( \begin{array}{l} \hat{Y}(s) = 2(s+3).\hat{X}_1(s) \Rightarrow y = 2\dot{x}_1 + 6x_1 = 2x_2 + 6x_1 \\ \\ \hat{U}(s) = (s+1)(s+2).\hat{X}_1(s) \Rightarrow\\ \\\Rightarrow u = \ddot{x}_1+ 3\dot{x}_1 + 2x_1 = \dot{x}_2 + 3x_2 + 2x_1 \end{array} \)
Donde hemos puesto:\(\hat{X}_2(s)= s·\hat{X}_1(s)\).
Finalmente, escribiendo las ecuaciones obtenidas en forma matricial:
    \( \displaystyle \begin{array}{c} \vec{\dot{x}}= \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -2 & -3 \\ \end{array} \right)\vec{x}+ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)\vec{u} \\ \\ y = (6\quad 2)\vec{x} \end{array} \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE REGULACIÓN Y CONTROL AUTOMÁTICO PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás