Dado el sistema de realimentación unitaria cuya función de transferencia en lazo abierto es:

\( \displaystyle G(s) = \frac{s+4}{s(s+2)^2(s+0,1)} \)

Calcular:

a) Los coeficientes estráticos de error
b) Los tres primeros coeficientes dinámicos
c) El error estacionario del sistema al ser excitado por la señal \(x(t) = e^{-t}/t\)

Ejercicios de automática. Respuesta 20

Por ser un sistema con realimentación unitaria tendremos H(s) = 1 y nos queda:
Coeficiente estático de error de posición:

\( \displaystyle K_p = \lim_{s\rightarrow 0}[H(s)·G(s)]= \lim_{s\rightarrow 0}\left[\frac{s+4}{s(s+2)^2(s+0,1)}\right]= \infty \)

Coeficiente estático de error de velocidad:

\( \displaystyle K_v = \lim_{s\rightarrow 0}[s·H(s)·G(s)]= \lim_{s\rightarrow 0}\left[\frac{s+4}{(s+2)^2(s+0,1)}\right]= 10 \)

Coeficiente estático de error de aceleración:

\( \displaystyle K_a = \lim_{s\rightarrow 0}[s^2·H(s)·G(s)]= \lim_{s\rightarrow 0}\left[\frac{s(s+4)}{(s+2)^2(s+0,1)}\right]= 0 \)

Para obtener los coeficientes dinámicos de error hacemos:

\( \displaystyle W(s) = \frac{1}{1 + G(s)·H(s)} = \frac{s(s+2)^2(s+0,1)}{s(s+2)^2(s+0,1)+ (s+4)} \)

Y a partir de ahí resulta:

\( \displaystyle \begin{array}{l} C_o = \lim_{s\rightarrow 0}[W(s)]= 0 \; ; \; C_1 = \lim_{s\rightarrow 0}[\frac{d(W(s))}{ds}]= 0,1\; ; \\  \\ C_2 = \lim_{s\rightarrow 0}[\frac{d^2(W(s))}{ds^2}]= 1,1625 \end{array} \)

Los valores estacionarios de la señal de excitación son nulos, por lo tanto, también será nulo el error estacionario del sistema, ya que tenemos:

\( \displaystyle e_{ss} = C_o·x_s(t) + C_1·x'_s(t) + \frac{C_2}{2!}·x''_s(t) + \cdots \)

Y los términos xs(t), x’s(t), x”s(t) que representan los valores estacionarios de la excitación y sus sucesivas derivadas, son nulos para la señal dada.