Dado el sistema dinamico cuya ecuación caracteristica es:

\( 5s^4 + 2s^3 + s^2 + 4s + k = 0\)

Determinar mediante la tecnica de lugar de las raices, la frecuencia en los puntos de corte con el eje imaginario.

Ejercicios de automática. Respuesta 19

Partiendo de la ecuación característica podemos escribir:

\( \displaystyle 1 + \frac{k}{5s^4 + 2s^3 + s^2 + 4s} = 1 + \frac{P(s)}{Q(s)} \)

Por lo tanto, en este caso, la ecuación que ha de satisfacer el lugar de las raíces será:

\( \Im[5s^4 + 2s^3 + s^2 + 4s] = 0 \)

Para encontrar la frecuencia en los puntos de corte con el eje imaginario hacemos s = j•w y sustituimos en la anterior expresión:

\( \begin{array}{l} Q(s) = Q(jw) = 5·w^4 - 2·jw^3 - w^2 + 4·j·w \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \Im [Q(jw)]= 0 = -2·w^3 + 4·w \end{array}\)

Y operando obtendremos:

\( w_1 = 0 \quad ; \quad w_2 = +\sqrt{2}\quad ; \quad w_3 = -\sqrt{2} \)