Determinar mediante el criterio de Nyquist los valores de k para que el sistema con realimentación unitaria cuya función de transferencia en lazo abierto es:

\( \displaystyle G(s) = \frac{k}{(s^2+1)(s+3)} \)

Sea estable.

Ejercicios de automática. Respuesta 18

La función de transferencia en lazo abierto no tiene ningún polo en la parte real positiva del plano s, por lo que el camino de Nyquist no ha de rodear ninguna vez al punto (-1, j•0) en el sentido de las agujas del reloj. Para ver si ocurre eso, hacemos:

\( \displaystyle G(j·w) = \frac{k}{(1-w^2)(3+ j·w)}= \frac{k(3-j·w)}{(1-w^2)(9-w^2)} \)

Para calcular las frecuencias de corte con el eje real, igualamos a cero la parte imaginaria de la anterior expresión. De ese modo:

\( \displaystyle \frac{-k·w}{(1-w^2)(9-w^2)} = 0 \Rightarrow w = 0 \; ; \; w = \infty \)

Estos valores de w nos dan para G(s):

\( \displaystyle G(j·0) = \frac{k}{3}\; ; \; G(j·\infty) = 0 \)

Tenemos entonces que el punto crítico (-1, j•0) debe estar a la izquierda del punto de corte k/3. Esto nos da:

\( \displaystyle - 1 < \frac{k}{3} \Rightarrow -3 < k \)

Y teniendo en cuenta que el siguiente punto de corte es para el valor G(s) = 0 con frecuencia infinita, podemos poner finalmente como valores de estabilidad para \(k: \quad -3 < k < 0\).