PROBLEMAS RESUELTOS
DE AUTOMÁTICA
regulación y control
diagramas de flujo
funciones de transferencia

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Ejercicios resueltos

 
Un sistema de control con realimentación unitaria tiene una función de transferencia en lazo abierto dada por:
    \( \displaystyle G(s) = \frac{s+2}{s^2 - 2s + 5} \)
Se pide:

Estudiar la estabilidad del sistema
Calcular la respuesta del sistema al ser excitado por la señal u(t) = e-2t.
Calcular la respuesta del sistema al ser excitado por la señal:
    \( \displaystyle u(t) = \mathfrak{L}^{-1}\left[\frac{s^2 + 4s + 5}{s^2 + 4}e^{-5}\right] \)

    Ejercicios de automática. Respuesta 13

Para estudiar la estabilidad del sistema debemos obtener su ecuación característica a partir de la función de transferencia en lazo cerrado. Tenemos entonces:
    \( \displaystyle F(s) = \frac{G(s)}{1+ G(s)} = \frac{s+2}{s^2 - s + 7} \)
Y la ecuación característica será:
s²– s + 7 = 0
Para estudiar la estabilidad del sistema aplicamos el criterio de Routh – Hurwitz a la ecuación característica:
    \( \begin{array}{l} s^2 \\ \\ s^1 \\ \\ s^0 \end{array}\left| \begin{array}{cc} 1 & 7 \\ \\ -1 & 0 \\ \\ 7 & 0 \\ \end{array} \right. \)
El sistema es inestable puesto que los coeficientes de la primera columna en el algoritmo de Routh no poseen todos el mismo signo.
La respuesta del sistema al ser excitado por la señal u(t) = e-2t viene dada por:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} y = \mathfrak{L}^{-1}\left\{\frac{s+2}{s^2-s+7}\mathfrak{L}[e^{-2t}]\right\} =\mathfrak{L}^{-1}\left\{\frac{s+2}{s^2-s+7}\frac{1}{s+2}\right\} = \\ \\ =\mathfrak{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^2-s+7}\right\} = \mathfrak{L}^{-1}\left\{\frac{1}{\left(s-\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{27}{4}}\right\} = \\ \\ = \frac{2}{3\sqrt{3}}e^{\frac{1}{2}t}\times\sin\frac{3\sqrt{3}}{2}t \end{array} \)
La respuesta del sistema a la segunda de las excitaciones vendrá dada por:
    \( \displaystyle y = \mathfrak{L}^{-1}\left\{\frac{s+2}{s^2-s+7}\frac{s^2+4s+5}{s^2+4}e^{-s}\right\} \)
Descomponiendo en fracciones simples la parte racional, la expresión anterior queda:
    \( \displaystyle y = \mathfrak{L}^{-1}\left\{\left(\frac{-3s+13}{s^2-s+7}+ \frac{4s-6}{s^2+4}\right)e^{-s}\right\} \)
De donde resulta fácil obtener:

    \( \displaystyle y = \mathfrak{L}^{-1}\left\{\mathfrak{L}\left[-3e^{\frac{1}{2}t}\cos \frac{3\sqrt{3}}{2}t - \frac{23}{3\sqrt{3}}e^{\frac{1}{2}t}\sin \frac{3\sqrt{3}}{2}t + 4\cos 2t - 3\sin 2t\right]e^{-5}\right\} \)
Y operando:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    y = \left[-3e^{\frac{1}{2}(t-1)}·\cos \frac{3\sqrt{3}}{2}(t-1) - \frac{23}{3\sqrt{3}}e^{\frac{1}{2}(t-1)}·\sin \frac{3\sqrt{3}}{2}(t-1) +\right. \\
    \\
    \left. + 4\cos 2(t-1) - 3\sin 2(t-1)\right]·h(t-1)
    \end{array} \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE REGULACIÓN Y CONTROL AUTOMÁTICO PARA CIENCIAS E INGENIERÍA
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tema escrito por: José Antonio Hervás