PROBLEMAS RESUELTOS
DE AUTOMÁTICA
regulación y control
diagramas de flujo
funciones de transferencia

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Ejercicios de automática

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Ejercicios resueltos

 

    Ejercicios de regulación automática

    Respuesta al ejercicio 11
Resolveremos el problema por dos métodos. Primero: realización en cascada. Podemos poner:

    \( \displaystyle H(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{X(s)}{U(s)}\frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{s^2 + 3s+2}{s^3 + 7s^2 + 12s} \)
Y a partir de ahí tenemos:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{X(s)}{U(s)} = \frac{1}{s^3 + 7s^2 + 12s}\Rightarrow U(s) = (s^3 + 7s^2 + 12s )X(u) \\ \\ u = \dot{x}_3 + 7x_3 + 12x_2 \\\\\\ \frac{Y(s)}{X(s)} = s^2 + 3s + 2\Rightarrow Y(s) = (s^2 + 3s + 2 )X(u) \\ \\ y = x_3 + 3x_2 + 2x_1 \end{array} \)
Donde hemos puesto:

    \( \dot{x}_1 = x_2 \quad ; \quad \dot{x}_2 = x_3 \)
Reagrupando matricialmente podemos escribir:
    \( \begin{array}{l} \\ \dot{X} = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -12 & -7 \\ \end{array} \right)\vec{X} + \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)\vec{U} \\ \\ \\ \vec{Y} = (2 \quad 3 \quad 1)\vec{X} \end{array} \)
Segundo método de resolución: Descomposición directa. Tenemos:

    \( \displaystyle H(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{s^2 + 3s + 2}{s^3 + 7s^2 + 12s}= \frac{s^2 + 3s + 2}{s(s+3)(s+4)} \)
Y podemos hacer la identificación

    \( \displaystyle \frac{1}{s}\times \frac{(s+1)}{(s+3)}\times \frac{(s+2)}{(s+4)}= \frac{X_3(s)}{U(s)}\times\frac{X_2(s)}{X_3(s)}\times\frac{X_1(s)}{X_2(s)}\times\frac{Y(s)}{X_1(s)} \)
Con lo que tendremos:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{1}{s} = \frac{X_3(s)}{U(s)}\quad ; \quad \frac{(s+1)}{(s+3)}= \frac{X_2(s)}{X_3(s)}\quad ; \\  \\ \frac{(s+2)}{(s+4)}= \frac{X_1(s)}{X_2(s)}\quad ; \quad 1 = \frac{Y(s)}{X_1(s)} \end{array} \)
Y a partir de ahí:
    \( \begin{array}{l} \dot{x}_3 = u \\ \\ \dot{x}_3 + x_3 = \dot{x}_2 + 3x_2 \Rightarrow \dot{x}_2 = x_3 - 3x_2 + u \\ \\ \dot{x}_2 + 2x_2 = \dot{x}_1 + 4x_1 \Rightarrow \dot{x}_1 = -4x_1- x_2 + x_3 + u \\ \\ y=x_1 \end{array} \)
Y en forma matricial:

    \( \begin{array}{l} \\ \dot{X} = \left( \begin{array}{ccc} -4 & -1 & 1 \\ 0 & -3 & 1 \\ 0 & 0& 0 \\ \end{array} \right)\vec{X} + \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right)\vec{U} \\ \\ \\ \vec{Y} = (1 \quad 0 \quad 0)\vec{X} \end{array} \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE REGULACIÓN Y CONTROL AUTOMÁTICO PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás