PROBLEMAS RESUELTOS
DE AUTOMÁTICA
regulación y control
diagramas de flujo
funciones de transferencia

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    Ejercicios de regulación automática

    Respuesta al ejercicio 10
Para obtener la función de transferencia calculamos la transformada de Laplace del sistema ignorando los términos debidos a condiciones iniciales:

    \( \displaystyle G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}= \frac{1}{s^2 + 3s + 2} \)
Para obtener las ecuaciones de estado hacemos:

    \( \begin{array}{l} y(t) = u_1(t) \\ \\ \\ \dot{y}(t) = u_2(t) \\ \vdots \\ \\ \dot{y}^{n-1}(t) = u_n(t) \end{array}\quad derivando\quad \begin{array}{l} \dot{y}(t) = \dot{u}_1(t)= u_2(t) \\ \\ \\ \ddot{y}(t) = \dot{u}_2(t)= u_3 \\ \vdots \\ \\ \dot{y}^{n}(t) = \dot{u}_n(t)= u_{n+1}(t) \end{array} \)
en nuestro caso, aplicando la expresión general:

    \( \dot{u}_2(t) = \ddot{y}(t) = x - 3\dot{y}(t) - 2y(t) = x - 3u_2(t) - 2u_1(t) \)
y el sistema a formar será :

    \( \begin{array}{l} \vec{\dot{u}} = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -2 & -3 \\ \end{array} \right)\vec{u} + \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)\vec{x} \\ \\ y(t) = (1\quad 0)u(t) \end{array} \)
La función de transferencia a partir de las ecuaciones de estado, se obtiene como sigue :

    \( \displaystyle G(s) = (1\quad 0)\left[\left( \begin{array}{cc} s & 0 \\ 0 & s \\ \end{array} - \right)- \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -2 & -3 \\ \end{array} \right) \right]^{-1}\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right) = \frac{1}{s(s+3)+2} \)
y la expresión coincide con la obtenida al principio.
EJERCICIOS RESUELTOS DE REGULACIÓN Y CONTROL AUTOMÁTICO PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás