PROBLEMAS RESUELTOS
DE AUTOMÁTICA
regulación y control
diagramas de flujo
funciones de transferencia

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Ejercicios resueltos

 

    Ejercicios de regulación automática

    Respuesta al ejercicio 5
Para obtener la función de transferencia obtenemos la transformada de Laplace de la ecuación que lo describe, ignorando los términos debidos a las condiciones iniciales.

    \( \displaystyle \begin{array}{l} 3s^2Y(s) + 3sY(s) + Y(s) = 2sX(s) \Rightarrow \\  \\ \rightarrow G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{2s}{3s^2 + 3s + 1} \end{array}\)
Para obtener las ecuaciones de estado planteamos el sistema :

    \( \displaystyle \left. \begin{array}{c} y(t) = x_1(t) \\ \\ \dot{y}(t) = x_2(t) \\ \end{array} \right\}\textrm{ derivando }\left\{ \begin{array}{l} \dot{y}(t) = \dot{x}_1(t) = x_2(t) \\ \\ \ddot{y}(t) = \dot{x}_2(t) \\ \end{array} \right. \)
con lo que tendremos :

    \( \displaystyle \ddot{y}(t) = \dot{x}_2(t) = - \dot{x}_1(t) - \frac{1}{3}x_1(t) + \frac{2}{3}\frac{du}{dt}\)
y de ese modo resulta el sistema :

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \dot{X}= \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1/3 & -1 \\ \end{array} \right)\vec{X} + \frac{2}{3}\left( \begin{array}{l} 0 \\ d/dt \\ \end{array} \right)u \\ \\ y = (1 , 0)X \end{array}\)
La respuesta debido a la excitación vendrá por la transformada inversa de Laplace del producto de la transformada de la señal de excitación por la función de transferencia del sistema. Según eso tendremos :

    \( \displaystyle y(t) = \mathfrak{L}^{-1}\left[\frac{2s}{3s^2+3s+1}\mathfrak{L}\{\cos t\}\right] = \mathfrak{L}^{-1}\left[\frac{2s^2}{[3s^2+3s+1](s^2+1)}\right] \)
Descomponiendo en fracciones simples tenemos :

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{2s^2}{[3s^2+3s+1](s^2+1)} = \frac{As+B}{[3s^2+3s+1]}+\frac{Cs+D}{(s^2+1)}= \\ \\ -\frac{18}{13}\frac{s+ \frac{1}{2}}{\left(s+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{12}}+ \frac{5}{13}\times \frac{ 1}{\left(s+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{12}}+\\ \\+ \frac{6}{13}\times\frac{s}{s^2+1}+ \frac{4}{13}\times\frac{1}{s^2+1} \end{array} \)
y a partir de ahí, tomando antitransformadas :

    \( \displaystyle\begin{array}{l}
    y(t) = - \frac{18}{13}\times \exp\left(- \frac{1}{2}t\right)· \cos\left(\frac{1}{2\sqrt{3}}t\right)+\\ \\ +\frac{10}{13}\times \exp\left(- \frac{1}{2}t\right)· \sin\left(\frac{1}{2\sqrt{3}}t\right) + \frac{6}{13}\cos t + \frac{4}{13}\sin t
    \end{array}\)
EJERCICIOS RESUELTOS DE REGULACIÓN Y CONTROL AUTOMÁTICO PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás