PROBLEMAS RESUELTOS
DE AUTOMÁTICA
regulación y control
diagramas de flujo
funciones de transferencia

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    Ejercicios de regulación automática

    Respuesta al ejercicio 4
La función de transferencia del sistema en lazo cerrado, teniendo en cuenta que la realimentación es unitaria, será :

    \( \displaystyle W(s) = \frac{1}{1 + G(s)} = \frac{20Ks^3 + (10 + K)s}{s^4 + 5s^2 + 15 + 20Ks^3 + (10+K)s} \)
y la ecuación característica del sistema será :

    \(s^4 + 5·s^2 + 20K·s^3 + (10+K)s = 0\)
Para ver que valores de K hacen estable al sistema aplicamos el criterio de Routh. Sabemos que la condición necesaria y suficiente para que un sistema sea estable (para cualquier entrada acotada) es que su ecuación característica posea todas sus raíces en el semiplano complejo Re[s] < 0 y el criterio de Routh nos dice que esto es así si todos los coeficientes de la tabla poseen el mismo signo. Veamos si ocurre esto :

    \( \displaystyle \begin{array}{l} s^4 \\ \\ s^3 \\ \\ s^2 \\ \\ s^1 \\ \\ s^0 \end{array}\left| \begin{array}{ccccc} 1 &  & 5 &  & 15 \\  &  &  &  &  \\ 20K &  & 10+K &  & 0 \\  &  &  &  &  \\ \frac{100K - (10+K)}{20k}= B_1 &  & 15 &  & 0 \\  &  &  &  &  \\ \frac{B_1(10+K)-1520k}{B_1} &  & 0 &  & 0 \\  &  &  &  &  \\ \frac{C_1B_2 - C_2B_1}{C_1} =15 &  & 0 &  & 0 \\ \end{array} \right. \)
Para que el sistema sea estable, los primeros coeficientes de la derecha han de ser todos positivos. Del coeficiente en s² obtenemos :

    \( \displaystyle \frac{100K - (10+K)}{20K} > 0 \Rightarrow K > \frac{10}{99} \)
Condición mas restrictiva para K que la dada por el coeficiente en s³ . Del coeficiente en s resulta, después de operar :

    \( \displaystyle 99K^2 - 5020K - 100 \Rightarrow K = \frac{5020\pm \sqrt{(5020)^2 + 39600}}{198} \)
por simple inspección vemos que la raiz negativa nos da un valor de K no interesante puesto que nos hace negativos otros coeficientes. También vemos que la raíz positiva nos da un valor un valor aproximado para K de K > 5020/99. Así pues, los valores de K que hacen al sistema estable serán los que cumplan :

    \( \displaystyle K > \frac{5020 + \sqrt{(5020)^2 + 39600}}{198} \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE REGULACIÓN Y CONTROL AUTOMÁTICO PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás