PROBLEMAS RESUELTOS
DE AUTOMÁTICA
regulación y control
diagramas de flujo
funciones de transferencia

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    Ejercicios de regulación automática

    Respuesta al ejercicio 3
En primer lugar escribimos la función de transferencia denotando sus polos y ceros :

    \( \displaystyle G(s) = \frac{K}{s^3 + 4s^2 + 8s} = \frac{K}{s[(s+2)^2 + 4]} \)
1) Puesto que el número de ramas del lugar de las raíces es igual al número de polos de la función de transferencia en lazo abierto, para el caso considerado tendremos 3 ramas.
2) Los puntos del eje real, para K > 0, que pertenecen al lugar de las raíces son σ < 0, pues cumplen que el número total de polos y ceros a su derecha es impar.
3) Los puntos de arranque son los polos de la función de transferencia en lazo abierto, es decir : s = 0 ; s = - 2 + 2i ; s = - 2 – 2i . Como la función de transferencia no tiene ceros finitos, los puntos de llegada está en el infinito.
4) El lugar de las raíces es simétrico respecto al eje real del plano s.
5) El número de asíntotas es (n-m) = 3, don de n es el número de polos y m el de ceros. Los ángulos de estas asíntotas con la parte positiva del eje real son :

    \( \displaystyle \gamma = \frac{(2m+1)\pi}{3} = \pm 60 \; ; \; 180\quad ; \quad con \; m = 0, 1, 2 \)
6) La intersección de las tres asíntotas tendrá lugar sobre el eje real a una distancia σ dada por :

    \( \displaystyle \sigma = \frac{-2-2i - 2 + 2i}{3} = - \frac{4}{3} \)
7) Los ángulos de salida de los polos complejos son :

    \( \varphi = (2K+1)\pi - (90 + 135) = \left\{ \begin{array}{l} + 315 \; para \; s = -2+2i \\ \\ - 315 \; para \; s = -2-2i\\ \end{array} \right. \)
8) Los puntos de corte con el je imaginario los determinamos obteniendo primero la ecuación característica del sistema :

    \( s^3 + 4·s^2 + 8s + K\)
y formando la tabla de Routh :

    \( \displaystyle \begin{array}{c} s^3 \\\\ s^2 \\\\ s^1 \\\\ s^0 \end{array}\left| \begin{array}{cc} 1 & 8 \\\\ 4 & K \\\\ (32-K)/4 & 0 \\\\ K & 0 \\\\ \end{array} \right. \)
El valor crítico de K resulta de :

    \( (32-K)/4 = 0 \Rightarrow K = 32 \)
y por otro lado tenemos :

    \( 4s^2 + K = 0 \Rightarrow 4s^2 + 32 = 0 \Rightarrow - 4\omega^2 + 32 = 0 \; ; \; \omega = \pm 2 \sqrt{2} \)
9) Puesto que no tenemos ceros finitos, en este caso no existen puntos de ruptura. Los valores límites de K para los que el sistema sea estable se obtienen sin dificultad a partir de los puntos de corte con el eje imaginario, puesto que el caso desarrollado en dicho punto es justamente la aplicación del criterio de estabilidad de Routh. Por lo tanto, para que el sistema sea estable se deberá cumplir 0 < K < 32, tal como se deduce sin dificultad de la tabla.

El diagrama del lugar de las raíces puede dibujarse a partir de los datos obtenidos en los apartados anteriores.
EJERCICIOS RESUELTOS DE REGULACIÓN Y CONTROL AUTOMÁTICO PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás