PROBLEMAS RESUELTOS
DE AUTOMÁTICA
regulación y control
diagramas de flujo
funciones de transferencia

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Ejercicios de automática

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Ejercicios resueltos

 
Sea el sistema de realimentación unitaria cuya función de transferencia en lazo abierto es:
    \( \displaystyle G(s) = \frac{s + 4}{s^2(s + 2)^2)(s + 0,5)} \)
Calcular:
    a) los tres primeros coeficientes estáticos de error.
    b) Los tres primeros coeficientes dinámicos de error.
    c) El error estacionario del sistema al ser excitado por la señal x(t) = e-3t.

    Ejercicios de automática. Respuesta 2

Puesto que el sistema tiene realimentación unitaria tendremos H(s) = 1, y según las definiciones podremos escribir:
Coeficiente estático de error de posición:
    \( \displaystyle K_p = \lim_{s\rightarrow 0}H(s)G(s) = \lim_{s\rightarrow 0}\frac{s+4}{s^2(s+2)^2(s+0,5)}= \infty \)
Coeficiente estático de error de velocidad:
    \( \displaystyle K_v = \lim_{s\rightarrow 0}sH(s)G(s) = \lim_{s\rightarrow 0}\frac{s+4}{s(s+2)^2(s+0,5)}= \infty \)
Coeficiente estático de error de aceleración:
    \( \displaystyle K_a = \lim_{s\rightarrow 0}s^2H(s)G(s) = \lim_{s\rightarrow 0}\frac{s+4}{(s+2)^2(s+0,5)}= 2 \)
Para obtener los coeficientes dinámicos de error consideramos la función:
    \( \displaystyle W(s) = \frac{1}{1 +H(s)G(s)} = \frac{s^2(s+2)^2(s+0,5)}{s^2(s+2)^2(s+0,5)+ (s+4)} \)
y a partir de ahí tenemos:
    \( \displaystyle\begin{array}{l} C_o = \lim_{s\rightarrow 0} W(s) = 0 \quad ; \quad C_1 = \lim_{s\rightarrow 0} \frac{d[W(s)]}{ds} = 0\quad ; \\  \\ C_2 = \lim_{s\rightarrow 0} \frac{d^2[W(s)]}{ds^2} = 1 \end{array} \)
El error estacionario del sistema vendrá dado por:
    \( \displaystyle e_{ss} = C_o·x_s(t) + C_1·x'_s(t) + \frac{C_2}{2!}·x"_s(t) + ... \)
donde \(x_s(t), x'_s(t), x"_s(t)\) representan los valores estacionarios de la excitación y de sus derivadas. En nuestro caso, el valor estacionario de la excitación y sus derivadas es nulo por tenerse:
    \( \displaystyle x_s = \lim_{t\rightarrow \infty} x(t) = \lim_{t\rightarrow \infty} e^{-3t} = 0 , ... \)
Así pues, el error estacionario será nulo.
EJERCICIOS RESUELTOS DE REGULACIÓN Y CONTROL AUTOMÁTICO PARA CIENCIAS E INGENIERÍA
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tema escrito por: José Antonio Hervás