PROBLEMAS RESUELTOS
DE AUTOMÁTICA
regulación y control
diagramas de flujo
funciones de transferencia

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    Ejercicios de regulación automática

    Respuesta al ejercicio 1
Las respuestas transitoria y estacionaria las obtenemos a partir de la resolución de la ecuación diferencial. La solución general de la ecuación diferencial homogénea nos da :

    \( \displaystyle \frac{d^2y}{dt^2} + 5\frac{dy}{dt} + 6y = 0 \Rightarrow y_h(t) = C_1e^{-3t} + C_2e^{-2t} \)
Una solución particular de la completa la obtenemos por el método de variación de constantes :

    \( \displaystyle y' = C'_1(t)e^{-3t} - 3C_1(t)e^{-3t} + C'_2(t)e^{-2t} - 2C_2(t)e^{-2t} \)
Tenemos así :

    \( \displaystyle C'_1e^{-3t} + C'_2e^{-2t} = 0 \quad (*) \)
Derivando el resto nos queda :

    \( \displaystyle y" = - 3C'_1(t)e^{-3t} - 9C_1(t)e^{-3t} + 2C'_2(t)e^{-2t} - 4C_2(t)e^{-2t} \)
y tenemos :

    \( \displaystyle -3C'_1(t)e^{-3t} - C'_2(t)e^{-2t} = 1+t \quad (**) \)
Con las ecuaciones (*) y (**) tenemos un sistema que nos dará los valores C1 y C2. Multiplicando (*) por 3 y sumándole (**) resulta :

    \( \displaystyle C'_2(t)e^{-2t} = 1 + t \Rightarrow C_2(t) = \frac{1}{2}te^{2t} + \frac{1}{4}e^{2t} + K_2 \)
Multiplicando (*) por 2 y sumándole (**) nos queda :

    \( \displaystyle C'_1(t)e^{-3t} = 1 + t \Rightarrow C_1(t) = \frac{1}{3}te^{3t} + \frac{2}{9}e^{3t} + K_1 \)
Podemos poner entonces :

    \( \displaystyle \begin{array}{l} y(t) = \left(\frac{1}{3}te^{3t} + \frac{2}{9}e^{3t} + K_1\right)e^{-3t} + \left(\frac{1}{2}te^{2t} + \frac{1}{4}e^{2t} + K_2\right)e^{-2t} \\ \\ \frac{1}{36} + \frac{1}{6}t + K_1 e^{-3t} + K_2 e^{-2t} \end{array} \)
Según eso, la respuesta estacionaria valdrá :

    \( \displaystyle y_{ss} = \lim_{t\rightarrow \infty} y(t) = \frac{1}{6}\left(\frac{1}{6}+ t\right) \)
y la respuesta transitoria :

    \( \displaystyle y_t = K_1e^{-3t} + K_2e^{-2t} \)
La función ponderatriz es la respuesta del sistema al impulso unitario aplicado en el instante inicial. Para obtenerla consideramos :

    \( \displaystyle \begin{array}{l} g(t) = \mathfrak{L}^{-1}[G(s)1] = \mathfrak{L}^{-1}\left[\frac{1}{s^2 + 5s + 6}\right]= \\  \\ = \mathfrak{L}^{-1}\left[\frac{1}{s+2} - \frac{1}{s+3}\right] = e^{-2t} - e^{-3t} \end{array} \)
La ecuación característica del sistema es :
    \( \displaystyle s^2 + 5s + 6 = 0 \Rightarrow (s+2)(s+3) = 0 \)

Puesto que tenemos dos raices reales distintas, el amortiguamiento del sistema será positivo y mayor que la unidad. Para calcularlo, junto con la frecuencia natural, por teoría sabemos que se tiene :

    \( \displaystyle \left. \begin{array}{l} 2\delta\omega_n = 5 \\ \\ \omega_n^2 = 6 \\ \end{array} \right|\left. \begin{array}{l} 4\delta^2\omega_n^2 = 25 \\ \\ \omega_n^2 = 6 \\ \end{array} \right\} \quad \delta^2 = \frac{25}{24}\quad ; \quad \delta = \frac{2}{2\sqrt{6}}\quad ; \quad \omega_n = \sqrt{6} \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE REGULACIÓN Y CONTROL AUTOMÁTICO PARA CIENCIAS E INGENIERÍA
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tema escrito por: José Antonio Hervás