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Un sistema descrito por la ecuación diferencial :



Es excitado por la señal x = 1+t. Determinar:

a) La respuesta transitoria del sistema

b) La respuesta estacionaria

c) La función ponderatriz

d) El amortiguamiento del sistema

e) La frecuencia natural de oscilación.

Respuesta

Las respuestas transitoria y estacionaria las obtenemos a partir de la resolución de la ecuación diferencial. La solución general de la ecuación diferencial homogénea nos da :



Una solución particular de la completa la obtenemos por el método de variación de constantes :



Tenemos así :



Derivando el resto nos queda :



y tenemos :



Con las ecuaciones (*) y (**) tenemos un sistema que nos dará los valores C₁ y C₂. Multiplicando (*) por 3 y sumándole
(**) resulta :



Multiplicando (*) por 2 y sumándole (**) nos queda :



Podemos poner entonces :



Según eso, la respuesta estacionaria valdrá :



y la respuesta transitoria :



La función ponderatriz es la respuesta del sistema al impulso unitario aplicado en el instante inicial. Para obtenerla consideramos :



La ecuación característica del sistema es :

s² + 5s + 6 = 0 (s + 2)(s + 3) = 0

Puesto que tenemos dos raices reales distintas, el amortiguamiento del sistema será positivo y mayor que la unidad. Para calcularlo, junto con la frecuencia natural, por teoría sabemos que se tiene :