Un
sistema descrito por la ecuación diferencial :
Es excitado por la señal x = 1+t. Determinar:
Una solución particular de la completa la obtenemos por el método de variación de constantes :
Tenemos así :
Derivando el resto nos queda :
y tenemos :
Con las ecuaciones (*) y (**) tenemos un sistema que nos dará los valores C1 y C2. Multiplicando (*) por 3 y sumándole
(**) resulta :
Multiplicando (*) por 2 y sumándole (**) nos queda :
Podemos poner entonces :
Según eso, la respuesta estacionaria valdrá :
y la respuesta transitoria :
La función ponderatriz es la respuesta del sistema al impulso unitario aplicado en el instante inicial. Para obtenerla consideramos :
La ecuación característica del sistema es :
s2 + 5s + 6 = 0
(s
+ 2)(s + 3) = 0
Puesto que tenemos dos raices reales distintas, el amortiguamiento del sistema será positivo y mayor que la unidad. Para calcularlo, junto con la frecuencia natural, por teoría sabemos que se tiene :
Es excitado por la señal x = 1+t. Determinar:
a) La respuesta transitoria del sistema
b) La respuesta estacionaria
c) La función ponderatriz
d) El amortiguamiento del sistema
e) La frecuencia natural de oscilación.
RespuestaLas respuestas transitoria y estacionaria las obtenemos a partir de la resolución de la ecuación diferencial. La solución general de la ecuación diferencial homogénea nos da :
Una solución particular de la completa la obtenemos por el método de variación de constantes :
Tenemos así :
Derivando el resto nos queda :
y tenemos :
Con las ecuaciones (*) y (**) tenemos un sistema que nos dará los valores C1 y C2. Multiplicando (*) por 3 y sumándole
(**) resulta :
Multiplicando (*) por 2 y sumándole (**) nos queda :
Podemos poner entonces :
Según eso, la respuesta estacionaria valdrá :
y la respuesta transitoria :
La función ponderatriz es la respuesta del sistema al impulso unitario aplicado en el instante inicial. Para obtenerla consideramos :
La ecuación característica del sistema es :
s2 + 5s + 6 = 0
(s
+ 2)(s + 3) = 0Puesto que tenemos dos raices reales distintas, el amortiguamiento del sistema será positivo y mayor que la unidad. Para calcularlo, junto con la frecuencia natural, por teoría sabemos que se tiene :