PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de optimización

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Problemas de optimización

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Ejercicios de optimización matemática

Respuesta para el ejercicio 28

Tenemos:
    \(H(x,u,\lambda, t) = L(x,u,t) + \langle\lambda·f(x,u,t)\rangle \)
Y en el caso que estamos considerando:
    \(H(x,u,\lambda,t) = u^2 + \lambda(u-2x) \)
Con lo cual:
    \( \displaystyle \frac{\partial H(x,u,\lambda, t)}{\partial u} = 0 \Rightarrow 2u + \lambda = 0 \Rightarrow u^* = - \frac{\lambda}{2} \)
Y el valor óptimo de H es:
    \( \displaystyle\begin{array}{l} H^*(x,u,\lambda,t) = (u^*)^2 + \lambda (u^* - 2x) = \\  \\ = \frac{\lambda^2}{4} - \frac{\lambda^2}{2} - 2\lambdax = - \frac{\lambda^2}{4} - 2\lambdax \end{array} \)
De donde obtenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \dot{x} = \frac{\partial H^*(x,u,\lambda,t)}{\partial \lambda} = - 2x - \frac{\lambda}{2} \\  \\ \dot{\lambda} = \frac{\partial H^*(x,u,\lambda,t)}{\partial x} = 2\lambda \end{array} \)
La segunda de estas ecuaciones puede integrarse directamente y nos da:
    \( \displaystyle \dot{\lambda} = 2\lambda \Rightarrow \frac{d \lambda}{dt} = 2\lambda \; ; \; \lambda = Ke^{2t} \)
Sustituyendo el valor obtenido en la primera de las ecuaciones:
    \( \displaystyle \dot{x} = - 2x - \frac{K}{2}e^{2t} \Rightarrow \dot{x} + 2x = - \frac{K}{2}e^{2t} \)
Resolviendo primero la ecuación homogénea tenemos:
    \( \dot{x} + 2x = 0 \Rightarrow x = K_1e^{-2t}\Rightarrow \dot{x} = \dot{K}_1e^{-2t} - 2K_1e^{-2t} \)
Y así, para la completa:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    (\dot{K}_1·e^{-2t} - 2K_1·e^{-2t}) + 2K_1·e^{-2t} = - \frac{K}{2}·e^{2t} \\
     \\
    \dot{K}_1·e^{-2t} = - \frac{K}{2}·e^{2t}
    \end{array} \)
Integrando para obtener K1:
    \( \displaystyle \dot{K}_1 = \frac{K}{2}e^{4t}\Rightarrow K_1 = - \frac{K}{8}e^{4t} + K_2 \)
Con lo cual:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} x = K_1e^{-2t} = \left(- \frac{K}{8} e^{4t} + K_2\right)e^{-2t} = - \frac{K}{8} e^{2t} + K_2 e^{-2t} \\  \\ \lambda = Ke^{2t} \end{array} \)
Para obtener K y K2 consideramos las condiciones de contorno:
    \( \displaystyle x(0) = 1 \; ; \;- \frac{K}{8} + K_2 = 1 \; ; \; x(1) = 0 \; ; \;- \frac{K}{8}e^2 + K_2e^{-2} \)
Multiplicando la primera ecuación por e² y restando la segunda, queda:
    \( \displaystyle K_2 = \frac{e^2}{e^2 -e^{-2} } = \frac{1}{1 - e^{-4}} \)
Multiplicando la primera ecuación por e-2 y restando la segunda:
    \( \displaystyle K = \frac{8e^{-2}}{e^2 -e^{-2} } = \frac{8e^{-2}}{1 - e^{-4}} \)
Y en este caso el control óptimo es:
    \( \displaystyle u^* = - \frac{\lambda}{2} = - \frac{K}{2}e^{2t} = - \frac{4}{1-e^{-4}}e^{2(t-2)} \)
Resultado que coincide, como no podia ser menos, evidentemente, con el obtenido en el ejercicio 27.
EJERCICIOS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás