Ejercicios de optimización matemática

Aplicando el método basado en la función H de Pontryagin, obtener el control óptimo del sistema presentado en el ejercicio anterior, sujeto a la misma función de coste.

Respuesta para el ejercicio 28

Tenemos:

\(H(x,u,\lambda, t) = L(x,u,t) + \langle\lambda·f(x,u,t)\rangle \)

Y en el caso que estamos considerando:

\(H(x,u,\lambda,t) = u^2 + \lambda(u-2x) \)

Con lo cual:

\( \displaystyle \frac{\partial H(x,u,\lambda, t)}{\partial u} = 0 \Rightarrow 2u + \lambda = 0 \Rightarrow u^* = - \frac{\lambda}{2} \)

Y el valor óptimo de H es:

\( \displaystyle\begin{array}{l} H^*(x,u,\lambda,t) = (u^*)^2 + \lambda (u^* - 2x) = \\  \\ = \frac{\lambda^2}{4} - \frac{\lambda^2}{2} - 2\lambda·x = - \frac{\lambda^2}{4} - 2\lambda·x \end{array} \)

De donde obtenemos:

\( \displaystyle \begin{array}{l} \dot{x} = \frac{\partial H^*(x,u,\lambda,t)}{\partial \lambda} = - 2x - \frac{\lambda}{2} \\  \\ \dot{\lambda} = \frac{\partial H^*(x,u,\lambda,t)}{\partial x} = 2\lambda \end{array} \)

La segunda de estas ecuaciones puede integrarse directamente y nos da:

\( \displaystyle \dot{\lambda} = 2\lambda \Rightarrow \frac{d \lambda}{dt} = 2\lambda \; ; \; \lambda = K·e^{2t} \)

Sustituyendo el valor obtenido en la primera de las ecuaciones:

\( \displaystyle \dot{x} = - 2x - \frac{K}{2}·e^{2t} \Rightarrow \dot{x} + 2x = - \frac{K}{2}·e^{2t} \)

Resolviendo primero la ecuación homogénea tenemos:

\( \dot{x} + 2x = 0 \Rightarrow x = K_1·e^{-2t}\Rightarrow \dot{x} = \dot{K}_1·e^{-2t} - 2K_1·e^{-2t} \)

Y así, para la completa:

\( \displaystyle \begin{array}{l}
(\dot{K}_1·e^{-2t} - 2K_1·e^{-2t}) + 2K_1·e^{-2t} = - \frac{K}{2}·e^{2t} \\
 \\
\dot{K}_1·e^{-2t} = - \frac{K}{2}·e^{2t}
\end{array} \)

Integrando para obtener K₁:

\( \displaystyle \dot{K}_1 = \frac{K}{2}·e^{4t}\Rightarrow K_1 = - \frac{K}{8}·e^{4t} + K_2 \)

Con lo cual:

\( \displaystyle \begin{array}{l} x = K_1e^{-2t} = \left(- \frac{K}{8} e^{4t} + K_2\right)e^{-2t} = - \frac{K}{8} e^{2t} + K_2 e^{-2t} \\  \\ \lambda = K·e^{2t} \end{array} \)

Para obtener K y K₂ consideramos las condiciones de contorno:

\( \displaystyle x(0) = 1 \; ; \;- \frac{K}{8} + K_2 = 1 \; ; \; x(1) = 0 \; ; \;- \frac{K}{8}·e^2 + K_2·e^{-2} \)

Multiplicando la primera ecuación por e² y restando la segunda, queda:

\( \displaystyle K_2 = \frac{e^2}{e^2 -e^{-2} } = \frac{1}{1 - e^{-4}} \)

Multiplicando la primera ecuación por e^-2 y restando la segunda:

\( \displaystyle K = \frac{8·e^{-2}}{e^2 -e^{-2} } = \frac{8·e^{-2}}{1 - e^{-4}} \)

Y en este caso el control óptimo es:

\( \displaystyle u^* = - \frac{\lambda}{2} = - \frac{K}{2}·e^{2t} = - \frac{4}{1-e^{-4}}·e^{2(t-2)} \)

Resultado que coincide, como no podia ser menos, evidentemente, con el obtenido en el ejercicio 27.