PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de optimización

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Problemas de optimización

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Ejercicios de optimización matemática

Respuesta para el ejercicio 29

En primer lugar obtenemos la función H de Pontryagin. Para ello tenemos:
    \(\begin{array}{l}
    \dot{x}_1 = + x_2 \\
     \\
    \dot{x}_2 = - x_2 + u
    \end{array} \)
Y, por tanto:
    \( H = L+\langle\lambda·x\rangle = (u-x_2)^2 + \lambda_1·x_2 + \lambda_2(u-x_2) \)
El valor óptimo de la función H de Pontryagin vendrá dado por:
    \( \displaystyle \frac{\partial H}{\partial u} = 0 \Rightarrow 2(u-x_2) + \lambda_2 = 0 \Rightarrow (u-x_2)= - \frac{\lambda_2}{2} \)
Y a partir de ahí, sustituyendo el valor obtenido para u en la expresión de H:
    \( \displaystyle H^* = \frac{1}{4}\lambda_2^2 + \lambda_1x_2 - \frac{1}{2}\lambda_2^2 = \lambda_1x_2 - \frac{1}{4}\lambda_2^2 \)
Conociendo la expresión de H* podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones:
    \( \displaystyle \dot{x}_1 = \frac{\partial H^*}{\partial \lambda_1}\; ; \; \dot{x}_2 = \frac{\partial H^*}{\partial \lambda_2}\; ; \; \dot{\lambda}_1 = \frac{\partial H^*}{\partial x_1}\; ; \; \dot{\lambda}_2 = \frac{\partial H^*}{\partial x_2} \)
Que es:
    \( \displaystyle \dot{x}_1 = x_2\; ; \; \dot{x}_2 = \frac{\lambda_2}{2}\; ; \; \dot{\lambda}_1 = 0\; ; \; \dot{\lambda}_2 = - \lambda_1 \)
Tomando la tercera d las ecuaciones tenemos:
    \( \dot{\lambda}_1 = 0\Rightarrow \lambda_1 = A \)
Y sustituyendo este valor en la cuarta ecuación:
    \( \dot{\lambda}_2 = - \lambda_1 = -A \Rightarrow \lambda_2 = - At + B \)
Llevando ahora este último valor a la segunda ecuación:
    \( \displaystyle \dot{x}_2 = - \frac{\lambda_2}{2}= \frac{1}{2}(At-B) \Rightarrow x_2 = \frac{A}{4}t^2 - \frac{B}{2}t + C \)
Y, finalmente, para la primera ecuación:
    \( \displaystyle \dot{x}_1 = x_2 = \frac{A}{4}t^2 - \frac{B}{2}t + C \Rightarrow x_1 = \frac{A}{12}t^3 - \frac{B}{4}t^2 + Ct + D \)
Para obtener el valor de los coeficientes, consideramos las condiciones de contorno:
    \( \begin{array}{l} x_1(0) = 1 \Rightarrow D = 1 \; ; \; x_2(0) = 1 \Rightarrow C = 1 \\  \\ x_1(1) = 0 \; ; \;x_2(1) = 1 \Rightarrow A = 36\; ; \; B=20 \end{array} \)
Con ello el sistema queda en la forma:
    \( \begin{array}{l}
    \lambda_1 = 36 \; ; \; \lambda_2 = - 36·t + 20 \\
     \\
    x_2 = 9·t^2 - 10·t + 1 \; ; \; x_1 = 3t^3 - 5t^2 + t + 1
    \end{array} \)
Y, finalmente la expresión del control óptimo resulta:
    \( \displaystyle u^*(t) - x_2 = - \frac{\lambda_2}{2} \Rightarrow u^*(t) = x_2 - \frac{\lambda_2}{2} = 9t^2 + 8t - 9 \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás