PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de optimización

Ver enunciado del ejercicio en:

Problemas de optimización

Estás en : Matemáticas y Poesía > Problemas resueltos

 

Ejercicios de optimización matemática

Respuesta para el ejercicio 27

De la ecuación del sistema podemos obtener:
    \( u = \dot{x} + 2x\)
Y sustituyendo este valor en la función de coste:
    \( \displaystyle j = \int_0^1 (\dot{x}+2x)^2dt \)
Por lo tanto, lo que hemos de hacer es optimizar la función de coste con las condiciones x(0) = 1 ; x(1) = 0.
Para la ecuación de Euler tenemos:
    \( \displaystyle f(x,\dot{x},t)= (\dot{x}+2x)^2 \Rightarrow \begin{array}{l} \frac{\partial f}{\partial x} = 4\dot{x}+ 8x \\  \\ \frac{\partial f}{\partial \dot{x}} = 2\dot{x}+ 4x \end{array} \)
Y esto nos da:
    \( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{x}}\right)= 0 \; ; \; (4\dot{x}+ 8x) - \frac{d}{dt}(2\dot{x}+ 4x) \)
Y operando:
    \( (4\dot{x}+ 8x) - (2\ddot{x}+ 4\dot{x}) = 0 \Rightarrow \ddot{x} - 4\dot{x} = 0 \)
La solución general de esta ecuación es:
    \(x(t) = Ae^{2t} + Be^{-2t} \)
Y teniendo en cuenta las condiciones de frontera:
    \( x(0) = 1 \rightarrow A+B=1\rightarrow \; ; \; x(1) = 0 = Ae^2 + Be^{-2} \)
Obtenemos para los coeficientes:
    \( \displaystyle A = -B e^{-4} \; ; \; B(1-e^{-4})= 1 \Rightarrow \begin{array}{l} B = \frac{1}{(1-e^{-4})} \\  \\ A =- \frac{e^{-4}}{(1-e^{-4})} \end{array} \)
Por lo que la solución será en este caso:
    \( \displaystyle x^*(t) = \frac{1}{(1-e^{-4})}\left[- e^{2(t-2)}+ e^{-2t}\right] \)
Y de ese modo tendremos:
    \( \displaystyle u^*(t) = \dot{x} + 2x = - \frac{4}{(1-e^{-4})}·e^{2(t-2)} \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás