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ejercicios resueltos de cálculo de probabilidades

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Ejercicios de probabilidades

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CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Una empresa española dedicada a la venta de ordenadores, ha abierto en CHINA una factoría en la que hacen el montaje de los equipos. Se han instalado tres máquinas para colocar la carcasa exterior del equipo. Habiéndose rotulado con A, B y C, respectivamente a dichas máquinas, la primera de ellas coloca el 55 % del total de las carcasas, la segunda el 30 % y la tercera el 15 %.

De los ordenadores terminados de montar en la máquina A, el 1 % tienen alguna deficiencia en su carcasa; de los montados en la máquina B, lo tienen el 2 % y de los que han pasado por la máquina C, el 4 %.

Calcular la probabilidad de que un ordenador montado en la máquina C tenga defectos en su carcasa; calcular la probabilidad de que un ordenador escogido al azar no tenga defectos en su carcasa y, finalmente, si se toma un ordenador al azar con defectos en su carcasa, ¿cual es la máquina que con mayor probabilidad ha colocado la carcasa?.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 48

A partir de los datos del enunciado podemos establecer en relación a la unidad:
    ordenadores montados por la máquina A, 0,55

    ordenadores montados por la máquina B, 0,30

    ordenadores montados por la máquina C, 0,15
Y a partir de ahí:
    Carcasas defectuosas (D) montadas por la máquina A, 0,01

    Carcasas defectuosas (D) montadas por la máquina B, 0,02

    Carcasas defectuosas (D) montadas por la máquina C, 0,04
Con lo cual:
    Carcasas correctas ( \( \bar{D} \) ) montadas por la máquina A, 0,99

    Carcasas correctas ( \( \bar{D} \) ) montadas por la máquina B, 0,98

    Carcasas correctas ( \( \bar{D} \) ) montadas por la máquina C, 0,96
Por lo tanto, la probabilidad de que un ordenador montado en la máquina C teng defectos en su carcasa, vendrá dada por la expresión:
    \(P[D \cap C] = 0,15 \times 0,04 = 0,006 \)
La probabilidad de que un ordenador elegido al azar no tenga defectos en su carcasa vendrá dada por :
    \(P[\bar{D}] = 0,55 \times 0,99 + 0,30 \times 0,98 + 0,15 \times 0,96 = 0,9825 \)
Finalmente, para saber cual es la máquina que con mayor probabilidad ha colocado la carcasa defectuosa, tenemos en cuenta que en el conjuinto de las tres máquinas, los casos posibles en los que se ha podido colocar una carcasa defectuosa son complementarios a los de colocarla correcta, y los "casos favorables" para cada caso vendrán dados por el producto respectivo de producción de cada máquina por el factor de producción de defectuosos de ella, es decir:
    \(P[D] = 1 - P[\bar{D}] = 1 - 0,9825 = 0,0175\)

    \(\displaystyle P[A / D] = \frac{P[D \cap A]}{P[D]}\; ; \; P[B / D] = \frac{P[D \cap B]}{P[D]}\; ; \; P[C / D] = \frac{P[D \cap C]}{P[D]} \)
Y sustituyendo valores:
    \(\displaystyle P[A / D] = \frac{0,55 \times 0,01}{0,0175} = 0,31 \; ; \; P[B / D] = \frac{0,30 \times 0,02}{0,0175} = 0,34 \)

    \(P[C / D] = \displaystyle \frac{0,15 \times 0,04}{0,0175} = 0,34 \)
Es decir, las máquinas B y C tienen más probabilidad que la máquina A de haber colocado la carcasa defectuosa al ordenador.
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tema escrito por: José Antonio Hervás