PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de cálculo de probabilidades

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Ejercicios de probabilidades

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CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Una flota de camiones cubre diariamente el servicio de transporte de mercancías entre dos ciudades separadas por un puerto de montaña. Se supone que la probabilidad de que ocurra un accidente es de 0,001 en un día sin niebla y de 0,05 en un día con niebla.
Cierto día de un alborotado mes otoñal en el que hubo 10 días sin niebla y 20 días con niebla se produjo el accidente de uno de los camiones. Calcular la probabilidad de que el accidente haya ocurrido en un día con niebla o en un día sin niebla.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 40

Podemos resolver el problema aplicando las fórmulas de Bayes (teorema de Bayes), que nos permiten calcular la probabilidad de ocurrencia de un suceso dado Ai que puede ocurrir con las hipótesis S1, S2, …, Sn y al hacer un experimento ocurre bajo la hipótesis Si. El teorema se aplica cuando se conocen las probabilidades de ocurrencia de la hipótesis Si y del suceso Ai cuando ha ocurrido Si.

En nuestro caso, sabemos que las probabilidades de que haya un día sin niebla o de que haya un día con niebla son, respetivamente:
    \( p(D_{sn}) = \displaystyle \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \quad ; \quad p(D_{cn}) = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \)
Además, las probabilidades de que habiendo un día sin niebla ocurra un accidente o de que habiendo un día con niebla ocurra un accidente son, respectivamente:
    \( p(A | D_{sn}) = 0,001 \quad ; \quad p(A | D_{cn}) = 0,05 \)
Así, el teorema de Bayes nos da para la probabilidad de que el accidente haya ocurrido en un día sin niebla:

    \( \displaystyle P(D_{sn}|A) = \frac{P(D_{sn})感(A|D_{sn})}{P(D_{sn})感(A|D_{sn}) + P(D_{cn})感(A|D_{cn})} \)
Y sustituyendo valores:
    \( p(D_{sn} | A) = \displaystyle \frac{1/3 \times 0,001}{(1/3 \times 0,001) + (2/3 \times 0,05)} = 0,001 \)
Análogamente, para la probabilidad de que el accidente haya ocurrido en un día con niebla:

    \( \displaystyle P(D_{cn}|A) = \frac{P(D_{cn})感(A|D_{cn})}{P(D_{sn})感(A|D_{sn}) + P(D_{cn})感(A|D_{cn})} \)
Y sustituyendo valores:
    \( p(D_{cn} | A) = \displaystyle \frac{2/3 \times 0,05}{(1/3 \times 0,001) + (2/3 \times 0,05)} = 0,999 \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES
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tema escrito por: José Antonio Hervás