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Ejercicios de probabilidades

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CÁLCULO DE PROBABILIDADES

En el almacén de control de recepción de un taller entran cinco lotes de un mismo dispositivo. Cada uno de los lotes está formado de 500 unidades y su composición es tal que tres de ellos tienen un 4 % de piezas defectuosas y los otros dos un 10 %.
De los cinco lotes elegimos uno al azar y de él retiramos una pieza que resulta ser defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad (a posteriori) de que la pieza defectuosa pertenezca a la primera composición?

RESPUESTA DEL EJERCICIO 39

La cuestión planteada puede resolverse por aplicación de las fórmulas de Bayes - teorema de Bayes, según el cual podemos calcular la probabilidad de ocurrencia de un suceso A bajo la hipótesis Si, cuando A puede ocurrir con las hipótesis S1, S2, …, Sn y al hacer un experimento ocurre. El teorema se aplica cuando se conocen las probabilidades de ocurrencia de la hipótesis Si y del suceso A cuando ha ocurrido Si.

En nuestro caso, sabemos que la probabilidad de extraer un lote de la primera composición es 3/5 (S1) y la probabilidad de extraer un lote de la segunda composición es 2/5 (S2).

Además, la probabilidad de que siendo el lote de la primera composición, la pieza sea defectuosa, es del 4 % \(P(d|S_1)\) y la probabilidad de que siendo el lote de la segunda composición, la pieza es defectuosa, es del 10 % \(P(d|S_2)\) .

Así, el teorema de Bayes nos da:

    \( \displaystyle P(d|S_1) = \frac{P(S_1)ĚP(d|S_1)}{P(S_1)ĚP(d|S_1)+ P(S_2)ĚP(d|S_2)} \)
Y sustituyendo valores:
    \( \displaystyle P(S_1|d) = \frac{\frac{3}{5}\times \frac{4}{100}}{\frac{3}{5}\times \frac{4}{100}+ \frac{2}{5}\times \frac{10}{100}} = \frac{3}{8} \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES
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tema escrito por: José Antonio Hervás