PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de cálculo de probabilidades

Ver enunciado del ejercicio en:

Ejercicios de probabilidades

Estás en : Matemáticas y Poesía > Ejercicios resueltos

 

PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES

RESPUESTA DEL EJERCICIO 32

Sean \(\{e_1, e_2, \ldots , e_N\}\) los elementos de la población. Sabemos que en el caso de muestreos aleatorios con reemplazamiento en una población de tamaño N, el número de muestras distintas posibles de tamaño n, viene dado por la expresión, Nn por lo que en nuestro caso tendremos que el número de muestras posibles es N3. De entre todos estos posibles casos, aquella muestra compuesta por el elemento e1 repetido tres veces solo se puede presentar una vez; por lo tanto, la probabilidad de este suceso será:

    \( \displaystyle P(e_1, e_1, e_1) = \frac{1}{N^3} \)
Pero como lo que se nos pide en el primer caso es determinar la probabilidad de que la muestra extraída contenga un elemento distinto y hay en total N elementos, la probabilidad de dicho suceso será:

    \( \displaystyle P(e_i, e_i, e_i) = \frac{1}{N^3}\times N = \frac{1}{N^2} \)
Cuando las muestras a extraer presenten al elemento e1 repetido dos veces, tendrán alguna de las formas:

    \( (e_1, e_1, e_i \; , \; e_1, e_i, e_1 \; , \; e_i, e_1, e_1) \; con \; i\neq 1 \)
Y, por lo tanto, habrá 3(N-1) muestras en las que el elemento e1 estará repetido 2 veces. Cómo tenemos N elementos distintos, el número total de muestras posibles de tres elementos con dos elementos iguales y otro distinto, será 3N(N-1) y la probabilidad de obtener una de estas muestras vendrá dada por:

    \( \displaystyle P(\{e_i, e_i,e_j\}) = \frac{1}{N^3}\times 3N(N-1) = \frac{3(N-1)}{N^2} \)
Finalmente, la probabilidad de que los tres elementos extraídos sean distintos la podemos calcular sabiendo que un suceso de ese tipo ocurrirá cuando no ocurra alguno de los tipos anteriormente analizado, es decir:

    \( P(\{e_i, e_j,e_k\}) = 1 - [P(\{e_i, e_i,e_i\})+ P(\{e_i, e_i,e_j\}) ] \)
Y sustituyendo valores:

    \( \displaystyle P(\{e_i, e_j,e_k\}) = 1 - \left[\frac{1}{N^2}+ \frac{3(N-1)}{N^2}\right] = \frac{(N-1)(N-2)}{N^2} \)
Como queríamos demostrar.
EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES


tema escrito por: José Antonio Hervás