PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de cálculo de probabilidades

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PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES

RESPUESTA DEL EJERCICIO 30

El valor medio de cada una de las variables es:

    \( \displaystyle \bar{X}= \frac{\sum X_i}{n}= 79\; ; \;\bar{Y}= \frac{\sum Y_i}{n}= 303 \)
Podemos hacer entonces el cambio de variables dado por:

    \( x = X - \bar{X}\; ; \; y = Y - \bar{Y} \)
Resultando:

X Y x y xy
88 300 +9 -3 -27 81 9
80 302 +1 -1 -1 1 1
83 316 +4 +13 +52 16 169
84 330 +5 +27 +135 25 729
78 300 -1 -3 +3 1 9
62 250 -17 -53 +901 289 2089
82 300 +3 -3 -9 9 9
85 340 +6 +37 +222 36 1369
80 315 +1 +12 +12 1 144
84 330 +5 +27 +135 25 729
80 310 +1 +7 +7 1 49
62 243 -17 -60 +1020 289 3600
948 3636 0 0 2450 774 9626


Para obtener el coeficiente de correlación hacemos:

    \( \displaystyle r^2 = \frac{\left(\sum xy\right)^2}{\sum x^2 \sum y^2} = \frac{(2450)^2}{774 \times 9626} =0,8056 \rightarrow R = 0,8976 \)
Es evidente que existe una buena correlación entre los valores tomados por las variables X e Y, puesto que el valor del coeficiente de correlación es superior a 0,7 que se considera como el límite inferior de una correlación significativa.

Para obtener la recta de regresión lo hacemos por el método de mínimos cuadrados aplicando las ecuaciones:

    \( a\sum X + b \sum X^2 = \sum XY \; ; \; an + b\sum X = \sum Y \)
De las que obtenemos los coeficientes:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} a = \frac{(\sum Y)(\sum X^2) - (\sum X)(\sum XY)}{n \sum X^2 - (\sum X)^2} \; ; \\  \\ b = \frac{ n\sum XY) - (\sum X)(\sum Y)}{n \sum X^2 - (\sum X)^2} \end{array} \)
Y para cada uno de los términos tenemos la tabla:

X 88 80 83 84 78 62 82 85 80 84 80 62
Y 300 302 316 330 300 250 300 340 315 330 310 243
9744 6400 6889 7056 6084 3844 6724 7225 6400 7056 6400 3844
XY 26400 24160 26228 27720 23400 15500 24600 28900 25200 277720 24800 15066

Con los totales:

    \( \sum X = 948 \; ; \; \sum Y = 3636 \; ; \; \sum X^2 = 75766 \; ; \; \sum XY = 289694 \)
Y de la que resulta:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} a = \frac{3636 \times 75666 - 948 \times 289694}{12 \times 75666 - 948 \times 948}\; ; \\  \\ b = \frac{12 \times 289694 - 948 \times 289694}{12 \times 75666 - 948 \times 948} \end{array}\)
Con lo que la ecuación que define la recta de regresión es:

    \( \displaystyle Y^* = a + bX = \frac{20466}{387} + \frac{1225}{387}\times X \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES


tema escrito por: José Antonio Hervás