PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de cálculo de probabilidades

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Ejercicios de probabilidades

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CÁLCULO DE PROBABILIDADES

En una carrera intervienen cuatro caballos, A, B, C y D. La probabilidad de que gane A es doble que la de B; la de que gane C es triple que la de D y la de que gane B es la tercera parte que la de D. ¿Cuál es la probabilidad de que : a) Gane A ; b) Ganen B o C ; c) No ganen ni B ni D.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 26

El universo de sucesos para este problema será \(A \cup B \cup C \cup D\) . Los sucesos respectivos de que gane cada uno de los caballos son mutuamente excluyentes, es decir:

    \( P(A \cup B \cup C \cup D)= P(A) + P(B) + P(C) + P(D) = 1 \)
Teniendo en cuenta las consideraciones del enunciado, podemos escribir:

    \( P(A)= a \; ; \; P(B) = b \; ; \; P(C) = c \; ; \; P(D) = d \; ; \; a+b+c+d = 1 \)
Y realizando las sustituciones pertinentes:

    \( \displaystyle \frac{2}{3}d + \frac{1}{3}d + 3d + d = 1 \rightarrow d = \frac{1}{5} \)
Con lo que resulta:

    \( \displaystyle a = \frac{2}{15}\; ; \; b = \frac{1}{15}\; ; \; c = \frac{3}{5} \)
El que ganen B ó C podemos expresarlo mediante el suceso \(B \cup C\) y, puesto que estamos tratando con sucesos mutuamente excluyentes:

    \( \displaystyle P(B\cup C)= P(B) + P(C) = \frac{1}{15}+ \frac{3}{5} = \frac{10}{15} \)
El suceso de que no ganen ni B ni D lo podemos expresar por\(\bar{B}\cap \bar{C}\) , donde \(\bar{B}\) significa que B no gana y \(\bar{D}\) que D no gana. Teniendo en cuenta las leyes de Morgan, podemos escribir:

    \( \bar{B}\cap \bar{D} = \overline{B \cup D} \)
Y a partir de ahí:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} P(\bar{B}\cap \bar{D}) = P(\overline{B \cup D}) = 1 - P(B \cup D)= \\  \\ =1 [P(B)+ P(D)] = 1 - \left(\frac{1}{15}+ \frac{1}{5}\right)= \frac{11}{15} \end{array}\)
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tema escrito por: José Antonio Hervás