CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Cada coeficiente de la ecuación ax². + bx + c = 0 se determina por medio de una tirada de un dado ordinario. Hállese la probabilidad de que la ecuación tenga:

a) Raíces reales.
b) Raíces racionales.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 23.

Para que las raíces de la ecuación sean reales se ha de tener

\( b^2 \geq 4ac \Rightarrow b^2 - 4ac \geq 0 \)

Hay tres posibles parámetros a, b y c, cada uno con 6 posibles valores. Esto nos da como casos posibles

6 x 6 x 6 = 216

Para encontrar los casos favorables hacemos

b² = 1 ⇒ 4.ac ⇒ 0 casos
b² = 4 ⇒ 4.ac ⇒ (1, 1) ? 1 caso
b² = 9 ⇒ 4.ac ? (1, 1), (1, 2), (2, 1) ⇒ 3 casos
b² = 16 ; ac = (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (4, 1) ⇒ 8 casos
b² = 25 ; ac = Los anteriores + (1, 5), (1, 6), (2, 3), t3, 2), (5, 1), (6, 1) ⇒ 14 casos
b² = 36 ; ac = Los dos casos anteriores + (2, 4), (3, 3), (4, 2) ⇒ 17 casos

Tenemos así 43 casos favorables, lo cual nos da como probabilidad de que las raíces sean reales : P(a) = 43/216 Las raíces racionales serán aquellas en las que b² - 4.ac sea un cuadrado perfecto. A partir del espacio muestral anterior obtenemos los siguientes casos válidos :

b² = 4 ; ac = (1, 1) ; 1 caso
b² = 9 ; ac = (1, 2), (2, 1) ; 2 casos
b² = 16 ; ac = (1, 3), (1, 4), (2, 2), (3, 1), (4, 1) ; 5 casos
b² = 25 ; ac = (1, 4), (1, 6), (2, 3),(3, 2), (4, 1), (6, 1)(2,2) ; 7 casos
b² = 36 ; ac = (2, 4), (3, 3), (4, 2), (1,5), (5,1); 17 casos

Tenemos un total de 20 casos válidos, por lo que la probabilidad de obtener raíces racionales será : P(b) = 20/216 = 5/54