En un segmento AB, un punto C está situado entre A y B de forma
que la distancia a = AC es mayor que la distancia b = CE. Elegimos
un punto X al azar en el segmento AC y un punto Y al azar en
el segmento CB . ¿Cual es la probabilidad de que los segmentos
AX , XY e YB puedan formar un triángulo?.
RESPUESTA 14.
Consideremos la figura adjunta, y sea x la distancia de A a
X, e y la distancia de Y a B.
Sin tener en cuenta si los segmentos citados pueden o no formar
un triángulo, todos los valores posibles de x tienen que estar
comprendidos en el intervalo de 0 a a, y todos los posibles
valores de y tienen que estar comprendidos en el intervalo de
0 a b. Vamos a llamar región admisible a los intervalos posibles
de estas dos variables y eligiendo un sistema de coordenadas
rectangulares, tal como se muestra en la figura, podemos representar
esta región admisible por un rectángulo de base a y altura b.
El problema a resolver es entonces encontrar la porción de la
región admisible que contiene a todos los puntos tales que los
segmentos puedan formar un triángulo.
Si el área de esta porción es r, la probabilidad buscada es
r/ab, ya que el área total de la región admisible es ab. Para
que los tres segmentos puedan corresponder a los lados de un
triángulo es necesario y suficiente que la longitud de cada
uno de los tres segmentos sea menor que la suma de los otros
dos. Este hecho conduce a las tres condiciones siguientes :
Condición 1 : x < (a + b - x - y) + y que es equivalente
a x < (a + b)/2
Condición 2 : (a + b - x - y) < x + y que también se pone
x + y > (a + b)/2
Condición 3 : y < (a + b - x - y) + x es decir, y < (a + b)/2
Como estas tres condiciones se tienen que satisfacer simultáneamente,
es evidente que x tiene que estar a la izquierda de la recta
x = (a + b)/2, que y tiene que estar por debajo de la recta
y = (a + b)/2, y que, al mismo tiempo, x e y tienen que estar
simultáneamente por encima de la recta x + y = (a + b)/2. Todo
esto se puede ver geométricamente en la figura. anterior, en
la cual el área rayada representa los puntos que satisfacen
las tres desigualdades. Solo la parte del área rayada que solapa
con el rectángulo contendrá a los puntos que satisfacen todas
las condiciones del problema. Para obtener el área de la zona
de solapamiento tenemos que restar al área de todo el triángulo
rayado, dada por
el área de la parte rayada que se encuentra por encima de la
recta y = b. Haciendo 1as operaciones pertinentes resulta para
la zona de solapamiento b2/2. Así, la probabilidad
del suceso es :
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