CÁLCULO DE PROBABILIDADES

En un segmento AB, un punto C está situado entre A y B de forma que la distancia a = AC es mayor que la distancia b = CE. Elegimos un punto X al azar en el segmento AC y un punto Y al azar en el segmento CB . ¿Cual es la probabilidad de que los segmentos AX , XY e YB puedan formar un triángulo?.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 14.

Consideremos la figura adjunta, y sea x la distancia de A a X, e y la distancia de Y a B.



Sin tener en cuenta si los segmentos citados pueden o no formar un triángulo, todos los valores posibles de x tienen que estar comprendidos en el intervalo de 0 a a, y todos los posibles valores de y tienen que estar comprendidos en el intervalo de 0 a b. Vamos a llamar región admisible a los intervalos posibles de estas dos variables y eligiendo un sistema de coordenadas rectangulares, tal como se muestra en la figura, podemos representar esta región admisible por un rectángulo de base a y altura b. El problema a resolver es entonces encontrar la porción de la región admisible que contiene a todos los puntos tales que los segmentos puedan formar un triángulo.



Si el área de esta porción es r, la probabilidad buscada es r/ab, ya que el área total de la región admisible es ab. Para que los tres segmentos puedan corresponder a los lados de un triángulo es necesario y suficiente que la longitud de cada uno de los tres segmentos sea menor que la suma de los otros dos. Este hecho conduce a las tres condiciones siguientes :

Condición 1 : x < (a + b - x - y) + y que es equivalente a x < (a + b)/2

Condición 2 : (a + b - x - y) < x + y que también se pone x + y > (a + b)/2

Condición 3 : y < (a + b - x - y) + x es decir, y < (a + b)/2

Como estas tres condiciones se tienen que satisfacer simultáneamente, es evidente que x tiene que estar a la izquierda de la recta x = (a + b)/2, que y tiene que estar por debajo de la recta y = (a + b)/2, y que, al mismo tiempo, x e y tienen que estar simultáneamente por encima de la recta x + y = (a + b)/2. Todo esto se puede ver geométricamente en la figura. anterior, en la cual el área rayada representa los puntos que satisfacen las tres desigualdades. Solo la parte del área rayada que solapa con el rectángulo contendrá a los puntos que satisfacen todas las condiciones del problema. Para obtener el área de la zona de solapamiento tenemos que restar al área de todo el triángulo rayado, dada por

\( \displaystyle \left(\frac{a+b}{2}\times \frac{a+b}{2}\right): 2 = \frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \)

el área de la parte rayada que se encuentra por encima de la recta y = b. Haciendo 1as operaciones pertinentes resulta para la zona de solapamiento b²/2. Así, la probabilidad del suceso es :

\( \displaystyle P(E) = \frac{b^2/2}{a·b}= \frac{b}{2a} \)