PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de cálculo de probabilidades

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Ejercicios de probabilidades

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PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES

RESPUESTA DEL EJERCICIO 15.

Este problema se conoce como el problema de la aguja de Buffon. Consideremos la figura adjunta, y sea x la distancia perpendicular desde el punto medio de la. aguja a la recta más próxima, y sea Φ el ángulo que la aguja forma con la perpendicular a la recta. Entonces x toma un valor aleatorio comprendido entre 0 y d/2, y el ángulo Φ toma un valor aleatorio comprendido entre - π/2 y + π/2.

En la figura podemos observar que si x es menor que (a/2).cos Φ , la aguja cortará a una de las rectas ; y si es mayor que esa cantidad, no la cortará.
Por tanto, la curva x = (a/2).cos Φ es la frontera entre las regiones de intersección y de no intersección.

problema de la aguja de Buffon

Tenemos entonces un rectángulo de altura d/2 y base π, cuya superficie representa el campo total de valores posibles de x y Φ .

problema de la aguja de Buffon

el área situada bajo la curva x = (a/2).cos Φ es la parte de la región admisible para la cual la aguja corta las rectas. Por tanto, la probabilidad buscada es

    \( \displaystyle P(E) = \frac{ \displaystyle \int_{- \pi/2}^{+ \pi/2}(a/2)\cos \phi d\phi}{a·b} = \frac{2a}{\pi d} \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES


tema escrito por: José Antonio Hervás