PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES - RESPUESTA DEL EJERCICIO 4.

Vamos a representar por A el suceso consistente en que un pedido determinado que se esté despachando sea de la mercancía A, y por A el suceso complementario consistente en que no sea de la mercancía A.

Como la probabilidad de que un pedido determinado se refiera a una clase de mercancía determinada (sea A ó A) está influida por el número de pedidos de la misma clase que se hayan despachado antes, este problema ilustra la ley general de la probabilidad compuesta, expresada en la Ley general de la probabilidad compuesta :

Una buena forma de considerar el problema es imaginar un mazo de 60 cartas, todas iguales , excepto que 5 de ellas están señaladas con A y 55 señaladas con A. La acción de cumplimentar los pedidos se puede asociar a la de sacar cartas de un mazo bien barajado, de forma que todas las cartas que se pueden sacar en una prueba determinada tienen las mismas probabilidades de ser elegidas.

El suceso de que los pedidos primero y cuarto sean de la mercancía A y el segundo y tercero no , corresponde a sacar la sucesión de cartas A ,A , A, A. Como hay 5 cartas señaladas con A, la probabilidad de que la primera carta sea una A es 5/60. En la segunda prueba hay 59 cartas en la baraja, y 55 de ellas están señaladas con A. Luego la probabilidad condicionada de que la segunda carta sea una A es 55/59. En la tercera prueba quedan 58 cartas, y 54 de ellas están señaladas con A. Luego, la probabilidad condicionada de que la tercera carta sea una A es 54/58. Finalmente, en la cuarta prueba quedan 57 cartas, de las cuales 4 están señaladas con A, luego la probabilidad de que la cuarta carta sea una A es 4/57. Por tanto, multiplicando estas probabilidades de acuerdo con el teorema que expresa la ley general de la probabilidad compuesta, obtenemos :



Si llamamos E al suceso de que al menos dos pedidos de los cuatro primeros a cumplimentar sean de la mercancía A, su probabilidad es igual a 1 - P(E), siendo E el suceso de que los primeros cuatro pedidos contengan menos de dos pedidos de la mercancía A, es decir, cero ó uno. Pero la probabilidad de que ninguno de los pedidos sea de la mercancía A está dada por:

Como el suceso de que uno de los pedidos sea de la mercancía A puede ocurrir de cuatro formas mutuamente excluyentes, su probabilidad total es :



Por todo ello tendremos :



y la probabilidad buscada es :

P(E) = 1 - P(E) = 1 - 0,9684 = 0.00316