CÁLCULO DE PROBABILIDADES
En un almacén se tiene que despachar 60 pedidos, y se sabe que 5 de ellos
son de una cierta mercancía A. Si se cumplimentan los 60 pedidos al azar,
¿cual es la probabilidad de que el primero y el cuarto pedido sean de la
mercancía A y de que simultáneamente no lo sean el segundo y el tercero?.
¿Cual es la probabilidad de que en los cuatro primeros pedidos a cumplimentar
haya al menos dos pedidos de la mercancía A?
RESPUESTA DEL EJERCICIO 4.
Vamos a representar por A el suceso consistente en que un pedido
determinado que se esté despachando sea de la mercancía A, y por
A el suceso complementario
consistente en que no sea de la mercancía A.
Como la probabilidad de que un pedido determinado se refiera a
una clase de mercancía determinada (sea A ó
A)
está influida por el número de pedidos de la misma clase que se
hayan despachado antes, este problema ilustra la ley general de
la probabilidad compuesta, expresada en la Ley general de la probabilidad
compuesta :
\( P(A\cap B\cap C\cap \cdots \cap M\cap N)= \)
\( = P(A)·P(B/A)·P(C/A\cap B)···P(N/A\cap B\cap C\cap\cdots
\cap M) \)
Una buena forma de considerar el problema es imaginar un mazo
de 60 cartas, todas iguales , excepto que 5 de ellas están señaladas
con A y 55 señaladas con
A.
La acción de cumplimentar los pedidos se puede asociar a la de
sacar cartas de un mazo bien barajado, de forma que todas las
cartas que se pueden sacar en una prueba determinada tienen las
mismas probabilidades de ser elegidas.
El suceso de que los pedidos primero y cuarto sean de la mercancía
A y el segundo y tercero no , corresponde a sacar la sucesión
de cartas A ,
A
,
A, A. Como hay
5 cartas señaladas con A, la probabilidad de que la primera carta
sea una A es 5/60. En la segunda prueba hay 59 cartas en la baraja,
y 55 de ellas están señaladas con
A.
Luego la probabilidad condicionada de que la segunda carta sea
una
A es 55/59.
En la tercera prueba quedan 58 cartas, y 54 de ellas están señaladas
con
A. Luego,
la probabilidad condicionada de que la tercera carta sea una
A
es 54/58. Finalmente, en la cuarta prueba quedan 57 cartas, de
las cuales 4 están señaladas con A, luego la probabilidad de que
la cuarta carta sea una A es 4/57. Por tanto, multiplicando estas
probabilidades de acuerdo con el teorema que expresa la ley general
de la probabilidad compuesta, obtenemos :
\(P(A, \bar{A}, \bar{A}, A) = (5/60)(55/59)(54/58)(4/57) = 0,0051
\)
Si llamamos E al suceso de que al menos dos pedidos de los cuatro
primeros a cumplimentar sean de la mercancía A, su probabilidad
es igual a 1 - P(
E),
siendo
E el suceso
de que los primeros cuatro pedidos contengan menos de dos pedidos
de la mercancía A, es decir, cero ó uno. Pero la probabilidad
de que ninguno de los pedidos sea de la mercancía A está dada
por:
\( P(\bar{A}, \bar{A}, \bar{A}, \bar{A}) = (55/60)·(54/59)·(53/58)·(52/57)
= 0,6994 \)
Como el suceso de que uno de los pedidos sea de la mercancía A
puede ocurrir de cuatro formas mutuamente excluyentes, su probabilidad
total es :
\( P(1) = P(A, \bar{A}, \bar{A}, \bar{A})+P(\bar{A}, A, \bar{A},
\bar{A})+P(\bar{A}, \bar{A}, A, \bar{A})+P(\bar{A}, \bar{A},
\bar{A}, A) = \)
\( = (5/60)(54/59)(54/58)(53/57) + (55/60)(5/59)(54/58)(53/57)+
\)
\( + (55/60)(54/59)(5/58)(53/57) + (55/60)(5/59)(54/58)(5/57)
= 0,2690 \)
Por todo ello tendremos :
\( P(\bar{E}) = P(0) + P(1) = 0,6994 + 0,2690 = 0,9684 \)
y la probabilidad buscada es :
P(E) = 1 - P(E)
= 1 - 0,9684 = 0.00316