PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES - RESPUESTA DEL EJERCICIO 3.

Representando por F el hecho de que el mecanismo no funcione y por F el suceso complementario, es decir, que el mecanismo funcione, aplicamos el axioma enunciado en el prob1ema anterior (propiedad 1) y tenemos :



Llamando S₁ al suceso de que el interruptor 1 esté cerrado y S₁ al suceso complementario (que esté abierto), se sabe que , luego:



Y análogamente para los otros interruptores. El mecanismo solo funciona cuando los interruptores están cerrados, y esto corresponde al suceso compuesto , luego :



Aplicando ahora el teorema sobre la ley de la probabilidad compuesta para sucesos independientes, tenemos :



y a partir de ahí :



Esta es la forma más sencilla de resolver el prob1ema, pero es instructivo resolverlo empleando el teorema de la ley general de la probabilidad total :

La probabilidad P(A ∪ B ∪ ••• ∪ N) es igual a la suma algebraica de las probabilidades de los sucesos en todas las combinaciones posibles distintas, es decir, suceso único, parejas, ternas, … , N-tuplas. El signo es positivo para las combinaciones de orden impar (suceso único, ternas, …) y negativo para las combinaciones de orden par (parejas, cuaternas, … ).

Como el mecanismo no funcionará siempre que uno de los interruptores esté abierto, el suceso F es equivalente al suceso compuesto . Tenemos que usar la ley general de la probabilidad total porque los sucesos son independientes, y, por tanto , no son mutuamente excluyentes. Entonces, por el teorema enunciado anteriormente :



Observamos que hay cuatro sucesos simples, seis parejas, cuatro temas y un cuarteto.
Como los sucesos son independientes, la probabilidad compuesta es igual al producto de las probabilidades simples correspondientes, y como éstas son uniformes, podemos agrupar los términos del mismo grado escribiendo :

P(F) = 4.(0,1) - 6.(0,1)2 + 4.(0,1)3 - (0,1)4 = 0,4 - 0,06 + 0,004 - 0,0001 = 0,3439

Vemos que, aunque este método de solución es mucho más complicado que el primero y no es recomendable en una situación en la que aquel se pueda aplicar, conduce a la respuesta correcta, e ilustra el hecho general de que todos los métodos que utilizan los principios matemáticos adecuados de forma válida, llevarán a los mismos resultados.