CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Un mecanismo eléctrico que contiene cuatro interruptores sólo funciona cuando todos ellos están cerrados. En sentido probabilístico, los interruptores son independientes en lo que se refiere al cierre o a la apertura, y, para cada uno de ellos, la probabilidad de que no funcione es 0,1. Calcúlese la probabilidad de que no funcione el mecanismo en conjunto, despreciando todas las causas que pueden hacer que el mecanismo no funcione, excepto los propios interruptores.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 3.

Representando por F el hecho de que el mecanismo no funcione y por F el suceso complementario, es decir, que el mecanismo funcione, aplicamos el axioma enunciado en el problema anterior (propiedad 1) y tenemos :

\( P(F) = 1 - P(\bar{F}) \)

Llamando S₁ al suceso de que el interruptor 1 esté cerrado y S₁ al suceso complementario (que esté abierto), se sabe que \(P(\bar{S}_1) = 0,1\) , luego:

\( P(\bar{S}_1) = 1 - P(\bar{S}_1) = 0,9 \)

Y análogamente para los otros interruptores. El mecanismo solo funciona cuando los interruptores están cerrados, y esto corresponde al suceso compuesto\(S_1\cap S_2 \cap S_3 \cap S_4\), luego:

\( P(S_1\cap S_2 \cap S_3 \cap S_4) \)

Aplicando ahora el teorema sobre la ley de la probabilidad compuesta para sucesos independientes, tenemos :

\( P(S_1\cap S_2 \cap S_3 \cap S_4)= P(S_1)P(S_2)P(S_3)P(S_4) = \)

\( = (0,9)(0,9)(0,9)(0,9) = 0,6561 \)

y a partir de ahí :

\( P(\bar{F}) = 0,6561 \Rightarrow P(F) = 1 - 0,6561 = 0,3439 \)

Esta es la forma más sencilla de resolver el problema, pero es instructivo resolverlo empleando el teorema de la ley general de la probabilidad total :

La probabilidad P(A ∪ B ∪ ••• ∪ N) es igual a la suma algebraica de las probabilidades de los sucesos en todas las combinaciones posibles distintas, es decir, suceso único, parejas, ternas, … , N-tuplas. El signo es positivo para las combinaciones de orden impar (suceso único, ternas, …) y negativo para las combinaciones de orden par (parejas, cuaternas, … ).

Como el mecanismo no funcionará siempre que uno de los interruptores esté abierto, el suceso F es equivalente al suceso compuesto \(\bar{S}_1\cup \bar{S}_2 \cup \bar{S}_3 \cup \bar{S}_4\) . Tenemos que usar la ley general de la probabilidad total porque los sucesos son independientes, y, por tanto , no son mutuamente excluyentes. Entonces, por el teorema enunciado anteriormente :

\(\begin{array}{l}
P(F) = P(\bar{S}_1\cup \bar{S}_2 \cup \bar{S}_3 \cup \bar{S}_4)= P(\bar{S}_1) + P(\bar{S}_2)+ P(\bar{S}_3)+ \\
 \\
+ P(\bar{S}_4)- P(\bar{S}_1\cap \bar{S}_2) - P(\bar{S}_1\cap \bar{S}_3)- P(\bar{S}_1\cap \bar{S}_4)- \\
 \\
- P(\bar{S}_2\cap \bar{S}_3)-P(\bar{S}_2\cap \bar{S}_4)-P(\bar{S}_3\cap \bar{S}_4) + P(\bar{S}_1\cap \bar{S}_2\cap \bar{S}_3)+ \\
 \\
P(\bar{S}_1\cap \bar{S}_2\cap \bar{S}_4)+P(\bar{S}_2\cap \bar{S}_3\cap \bar{S}_4) + P(\bar{S}_1\cap \bar{S}_2\cap \bar{S}_3 \cap \bar{S}_4)
\end{array} \)

Observamos que hay cuatro sucesos simples, seis parejas, cuatro temas y un cuarteto.
Como los sucesos son independientes, la probabilidad compuesta es igual al producto de las probabilidades simples correspondientes, y como éstas son uniformes, podemos agrupar los términos del mismo grado escribiendo :

P(F) = 4.(0,1) - 6.(0,1)2 + 4.(0,1)3 - (0,1)4 = 0,4 - 0,06 + 0,004 - 0,0001 = 0,3439

Vemos que, aunque este método de solución es mucho más complicado que el primero y no es recomendable en una situación en la que aquel se pueda aplicar, conduce a la respuesta correcta, e ilustra el hecho general de que todos los métodos que utilizan los principios matemáticos adecuados de forma válida, llevarán a los mismos resultados.