PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES - RESPUESTA DEL EJERCICIO 3.
Representando por F el hecho de que el mecanismo no funcione y
por
F el suceso
complementario, es decir, que el mecanismo funcione, aplicamos
el axioma enunciado en el prob1ema anterior (propiedad 1) y tenemos
:
Llamando S
1 al suceso de que el interruptor 1 esté
cerrado y
S1
al suceso complementario (que esté abierto), se sabe que

,
luego:
Y análogamente para los otros interruptores. El mecanismo solo
funciona cuando los interruptores están cerrados, y esto corresponde
al suceso compuesto

,
luego :
Aplicando ahora el teorema sobre la ley de la probabilidad compuesta
para sucesos independientes, tenemos :
y a partir de ahí :
Esta es la forma más sencilla de resolver el prob1ema, pero
es instructivo resolverlo empleando el teorema de la ley general
de la probabilidad total :
La probabilidad P(A ∪ B ∪ ••• ∪ N)
es igual a la suma algebraica de las probabilidades de los sucesos
en todas las combinaciones posibles distintas, es decir, suceso
único, parejas, ternas, … , N-tuplas. El signo es positivo para
las combinaciones de orden impar (suceso único, ternas, …) y
negativo para las combinaciones de orden par (parejas, cuaternas,
… ).
Como el mecanismo no funcionará siempre que uno de los interruptores
esté abierto, el suceso F es equivalente al suceso compuesto

. Tenemos que
usar la ley general de la probabilidad total porque los sucesos
son independientes, y, por tanto , no son mutuamente excluyentes.
Entonces, por el teorema enunciado anteriormente :
Observamos que hay cuatro sucesos simples, seis parejas, cuatro
temas y un cuarteto.
Como los sucesos son independientes, la probabilidad compuesta
es igual al producto de las probabilidades simples correspondientes,
y como éstas son uniformes, podemos agrupar los términos del
mismo grado escribiendo :
P(F) = 4.(0,1) - 6.(0,1)2 + 4.(0,1)3 - (0,1)4 = 0,4 - 0,06 +
0,004 - 0,0001 = 0,3439
Vemos que, aunque este método de solución es mucho más complicado
que el primero y no es recomendable en una situación en la que
aquel se pueda aplicar, conduce a la respuesta correcta, e ilustra
el hecho general de que todos los métodos que utilizan los principios
matemáticos adecuados de forma válida, llevarán a los mismos
resultados.
EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES PARA INGENIEROS
Y TÉCNICOS