PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de cálculo de probabilidades

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Ejercicios de probabilidades

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PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES

RESPUESTA DEL EJERCICIO 3.

Representando por F el hecho de que el mecanismo no funcione y por F el suceso complementario, es decir, que el mecanismo funcione, aplicamos el axioma enunciado en el problema anterior (propiedad 1) y tenemos :

    \( P(F) = 1 - P(\bar{F}) \)
Llamando S1 al suceso de que el interruptor 1 esté cerrado y S1 al suceso complementario (que esté abierto), se sabe que \(P(\bar{S}_1) = 0,1\) , luego:

    \( P(\bar{S}_1) = 1 - P(\bar{S}_1) = 0,9 \)
Y análogamente para los otros interruptores. El mecanismo solo funciona cuando los interruptores están cerrados, y esto corresponde al suceso compuesto\(S_1\cap S_2 \cap S_3 \cap S_4\), luego:
    \( P(S_1\cap S_2 \cap S_3 \cap S_4) \)
Aplicando ahora el teorema sobre la ley de la probabilidad compuesta para sucesos independientes, tenemos :

    \( P(S_1\cap S_2 \cap S_3 \cap S_4)= P(S_1)P(S_2)P(S_3)P(S_4) = \)
    \( = (0,9)(0,9)(0,9)(0,9) = 0,6561 \)
y a partir de ahí :

    \( P(\bar{F}) = 0,6561 \Rightarrow P(F) = 1 - 0,6561 = 0,3439 \)
Esta es la forma más sencilla de resolver el problema, pero es instructivo resolverlo empleando el teorema de la ley general de la probabilidad total :

La probabilidad P(A ∪ B ∪ ••• ∪ N) es igual a la suma algebraica de las probabilidades de los sucesos en todas las combinaciones posibles distintas, es decir, suceso único, parejas, ternas, … , N-tuplas. El signo es positivo para las combinaciones de orden impar (suceso único, ternas, …) y negativo para las combinaciones de orden par (parejas, cuaternas, … ).

Como el mecanismo no funcionará siempre que uno de los interruptores esté abierto, el suceso F es equivalente al suceso compuesto \(\bar{S}_1\cup \bar{S}_2 \cup \bar{S}_3 \cup \bar{S}_4\) . Tenemos que usar la ley general de la probabilidad total porque los sucesos son independientes, y, por tanto , no son mutuamente excluyentes. Entonces, por el teorema enunciado anteriormente :

    \(\begin{array}{l}
    P(F) = P(\bar{S}_1\cup \bar{S}_2 \cup \bar{S}_3 \cup \bar{S}_4)= P(\bar{S}_1) + P(\bar{S}_2)+ P(\bar{S}_3)+ \\
     \\
    + P(\bar{S}_4)- P(\bar{S}_1\cap \bar{S}_2) - P(\bar{S}_1\cap \bar{S}_3)- P(\bar{S}_1\cap \bar{S}_4)- \\
     \\
    - P(\bar{S}_2\cap \bar{S}_3)-P(\bar{S}_2\cap \bar{S}_4)-P(\bar{S}_3\cap \bar{S}_4) + P(\bar{S}_1\cap \bar{S}_2\cap \bar{S}_3)+ \\
     \\
    P(\bar{S}_1\cap \bar{S}_2\cap \bar{S}_4)+P(\bar{S}_2\cap \bar{S}_3\cap \bar{S}_4) + P(\bar{S}_1\cap \bar{S}_2\cap \bar{S}_3 \cap \bar{S}_4)
    \end{array} \)
Observamos que hay cuatro sucesos simples, seis parejas, cuatro temas y un cuarteto.
Como los sucesos son independientes, la probabilidad compuesta es igual al producto de las probabilidades simples correspondientes, y como éstas son uniformes, podemos agrupar los términos del mismo grado escribiendo :

P(F) = 4.(0,1) - 6.(0,1)2 + 4.(0,1)3 - (0,1)4 = 0,4 - 0,06 + 0,004 - 0,0001 = 0,3439

Vemos que, aunque este método de solución es mucho más complicado que el primero y no es recomendable en una situación en la que aquel se pueda aplicar, conduce a la respuesta correcta, e ilustra el hecho general de que todos los métodos que utilizan los principios matemáticos adecuados de forma válida, llevarán a los mismos resultados.
EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES


tema escrito por: José Antonio Hervás