PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES
RESPUESTA DEL EJERCICIO 3.
Representando por F el hecho de que el mecanismo no funcione y
por
F el suceso
complementario, es decir, que el mecanismo funcione, aplicamos
el axioma enunciado en el problema anterior (propiedad 1) y tenemos
:
\( P(F) = 1 - P(\bar{F}) \)
Llamando S
1 al suceso de que el interruptor 1 esté
cerrado y
S1
al suceso complementario (que esté abierto), se sabe que \(P(\bar{S}_1) = 0,1\) ,
luego:
\( P(\bar{S}_1) = 1 - P(\bar{S}_1) = 0,9 \)
Y análogamente para los otros interruptores. El mecanismo solo
funciona cuando los interruptores están cerrados, y esto corresponde
al suceso compuesto\(S_1\cap S_2 \cap S_3 \cap S_4\), luego:
\( P(S_1\cap S_2 \cap S_3 \cap S_4) \)
Aplicando ahora el teorema sobre la ley de la probabilidad compuesta
para sucesos independientes, tenemos :
\( P(S_1\cap S_2 \cap S_3 \cap S_4)= P(S_1)P(S_2)P(S_3)P(S_4)
= \)
\(
= (0,9)(0,9)(0,9)(0,9) = 0,6561 \)
y a partir de ahí :
\( P(\bar{F}) = 0,6561 \Rightarrow P(F) = 1 - 0,6561 = 0,3439 \)
Esta es la forma más sencilla de resolver el problema, pero es
instructivo resolverlo empleando el teorema de la ley general
de la probabilidad total :
La probabilidad P(A ∪ B ∪ ••• ∪ N)
es igual a la suma algebraica de las probabilidades de los sucesos
en todas las combinaciones posibles distintas, es decir, suceso
único, parejas, ternas, … , N-tuplas. El signo es positivo para
las combinaciones de orden impar (suceso único, ternas, …) y
negativo para las combinaciones de orden par (parejas, cuaternas,
… ).
Como el mecanismo no funcionará siempre que uno de los interruptores
esté abierto, el suceso F es equivalente al suceso compuesto \(\bar{S}_1\cup \bar{S}_2 \cup \bar{S}_3 \cup \bar{S}_4\)
. Tenemos que usar la ley general de la probabilidad total porque
los sucesos son independientes, y, por tanto , no son mutuamente
excluyentes. Entonces, por el teorema enunciado anteriormente
:
\(\begin{array}{l}
P(F) = P(\bar{S}_1\cup \bar{S}_2 \cup \bar{S}_3 \cup \bar{S}_4)=
P(\bar{S}_1) + P(\bar{S}_2)+ P(\bar{S}_3)+ \\
\\
+ P(\bar{S}_4)- P(\bar{S}_1\cap \bar{S}_2) - P(\bar{S}_1\cap
\bar{S}_3)- P(\bar{S}_1\cap \bar{S}_4)- \\
\\
- P(\bar{S}_2\cap \bar{S}_3)-P(\bar{S}_2\cap \bar{S}_4)-P(\bar{S}_3\cap
\bar{S}_4) + P(\bar{S}_1\cap \bar{S}_2\cap \bar{S}_3)+ \\
\\
P(\bar{S}_1\cap \bar{S}_2\cap \bar{S}_4)+P(\bar{S}_2\cap \bar{S}_3\cap
\bar{S}_4) + P(\bar{S}_1\cap \bar{S}_2\cap \bar{S}_3 \cap \bar{S}_4)
\end{array} \)
Observamos que hay cuatro sucesos simples, seis parejas, cuatro
temas y un cuarteto.
Como los sucesos son independientes, la probabilidad compuesta
es igual al producto de las probabilidades simples correspondientes,
y como éstas son uniformes, podemos agrupar los términos del
mismo grado escribiendo :
P(F) = 4.(0,1) - 6.(0,1)2 + 4.(0,1)3 - (0,1)4 = 0,4 - 0,06 +
0,004 - 0,0001 = 0,3439
Vemos que, aunque este método de solución es mucho más complicado
que el primero y no es recomendable en una situación en la que
aquel se pueda aplicar, conduce a la respuesta correcta, e ilustra
el hecho general de que todos los métodos que utilizan los principios
matemáticos adecuados de forma válida, llevarán a los mismos
resultados.