CÁLCULO DE PROBABILIDADES
Un mecanismo eléctrico que contiene cuatro interruptores sólo funciona cuando
todos ellos están cerrados. En sentido probabilístico, los interruptores
son independientes en lo que se refiere al cierre o a la apertura, y, para
cada uno de ellos, la probabilidad de que no funcione es 0,1. Calcúlese
la probabilidad de que no funcione el mecanismo en conjunto, despreciando
todas las causas que pueden hacer que el mecanismo no funcione, excepto
los propios interruptores.
RESPUESTA DEL EJERCICIO 3.
Representando por F el hecho de que el mecanismo no funcione y
por
F el suceso
complementario, es decir, que el mecanismo funcione, aplicamos
el axioma enunciado en el problema anterior (propiedad 1) y tenemos
:
\( P(F) = 1 - P(\bar{F}) \)
Llamando S
1 al suceso de que el interruptor 1 esté
cerrado y
S1
al suceso complementario (que esté abierto), se sabe que \(P(\bar{S}_1)
= 0,1\) , luego:
\( P(\bar{S}_1) = 1 - P(\bar{S}_1) = 0,9 \)
Y análogamente para los otros interruptores. El mecanismo solo
funciona cuando los interruptores están cerrados, y esto corresponde
al suceso compuesto\(S_1\cap S_2 \cap S_3 \cap S_4\), luego:
\( P(S_1\cap S_2 \cap S_3 \cap S_4) \)
Aplicando ahora el teorema sobre la ley de la probabilidad compuesta
para sucesos independientes, tenemos :
\( P(S_1\cap S_2 \cap S_3 \cap S_4)= P(S_1)P(S_2)P(S_3)P(S_4)
= \)
\( = (0,9)(0,9)(0,9)(0,9) = 0,6561 \)
y a partir de ahí :
\( P(\bar{F}) = 0,6561 \Rightarrow P(F) = 1 - 0,6561 = 0,3439
\)
Esta es la forma más sencilla de resolver el problema, pero es
instructivo resolverlo empleando el teorema de la ley general
de la probabilidad total :
La probabilidad P(A ∪ B ∪ ••• ∪ N) es igual a la suma
algebraica de las probabilidades de los sucesos en todas las combinaciones
posibles distintas, es decir, suceso único, parejas, ternas, …
, N-tuplas. El signo es positivo para las combinaciones de orden
impar (suceso único, ternas, …) y negativo para las combinaciones
de orden par (parejas, cuaternas, … ).
Como el mecanismo no funcionará siempre que uno de los interruptores
esté abierto, el suceso F es equivalente al suceso compuesto \(\bar{S}_1\cup
\bar{S}_2 \cup \bar{S}_3 \cup \bar{S}_4\) . Tenemos que usar la
ley general de la probabilidad total porque los sucesos son independientes,
y, por tanto , no son mutuamente excluyentes. Entonces, por el
teorema enunciado anteriormente :
\(\begin{array}{l}
P(F) = P(\bar{S}_1\cup \bar{S}_2 \cup \bar{S}_3 \cup \bar{S}_4)=
P(\bar{S}_1) + P(\bar{S}_2)+ P(\bar{S}_3)+ \\
\\
+ P(\bar{S}_4)- P(\bar{S}_1\cap \bar{S}_2) - P(\bar{S}_1\cap
\bar{S}_3)- P(\bar{S}_1\cap \bar{S}_4)- \\
\\
- P(\bar{S}_2\cap \bar{S}_3)-P(\bar{S}_2\cap \bar{S}_4)-P(\bar{S}_3\cap
\bar{S}_4) + P(\bar{S}_1\cap \bar{S}_2\cap \bar{S}_3)+ \\
\\
P(\bar{S}_1\cap \bar{S}_2\cap \bar{S}_4)+P(\bar{S}_2\cap \bar{S}_3\cap
\bar{S}_4) + P(\bar{S}_1\cap \bar{S}_2\cap \bar{S}_3 \cap \bar{S}_4)
\end{array} \)
Observamos que hay cuatro sucesos simples, seis parejas, cuatro
temas y un cuarteto.
Como los sucesos son independientes, la probabilidad compuesta
es igual al producto de las probabilidades simples correspondientes,
y como éstas son uniformes, podemos agrupar los términos del mismo
grado escribiendo :
P(F) = 4.(0,1) - 6.(0,1)2 + 4.(0,1)3 - (0,1)4 = 0,4 - 0,06 + 0,004
- 0,0001 = 0,3439
Vemos que, aunque este método de solución es mucho más complicado
que el primero y no es recomendable en una situación en la que
aquel se pueda aplicar, conduce a la respuesta correcta, e ilustra
el hecho general de que todos los métodos que utilizan los principios
matemáticos adecuados de forma válida, llevarán a los mismos resultados.