CÁLCULO DE PROBABILIDADES
Un lote de N objetos contiene k defectuosos, aunque la mayoría, N-k, están
en buenas condiciones. Si se eligen al azar n objetos, ¿cual es la probabilidad
de que los primeros c objetos (c < k) sean defectuosos y el resto , n-c,
no lo sean? ¿Cual es la probabilidad total de que, de los n objetos elegidos
al azar, c sean defectuosos?
RESPUESTA DEL EJERCICIO 5.
Los principios que intervienen en este problema son casi los mismos
que los del ejemplo anterior. Según el teorema que expresa la
ley general de la probabilidad compuesta, la probabilidad P(E)
de obtener una sucesión de c objetos defectuosos seguida de n-c
objetos en buenas condiciones viene dada por un producto de fracciones
tales que cada numerador es igual al número de objetos de la clase
correspondiente que se pueden elegir al ejecutar la prueba, y
cada denominador es igual al correspondiente número total de todos
los objetos que hay en ese momento. Luego :
\( \displaystyle \begin{array}{l} P(E) = \frac{k}{N}·\frac{k-1}{N-1}\cdots\frac{k+1-c}{N+1-c}·\frac{N-k}{N-c}·\frac{N-k-1}{N-c-1}\cdots
\\ \\ \cdots \frac{N-k+1-n+c}{N+1-n}= H \end{array}\)
Podemos expresar este resultado en forma más compacta multiplicándolo
y dividiéndolo por la cantidad :
\( \displaystyle \frac{(k-c)!(N-k-n+c)!}{(N-n)!} \)
con lo que obtenemos :
\( \displaystyle\begin{array}{l}
P(E)= H\times \frac{(k-c)!(N-k-n+c)!}{(N-n)!}\times \frac{(N-n)!}{(k-c)!(N-k-n+c)!}=
\\
\\
= \frac{k!(N-k)!(N-n)!}{N!(k-c)!(N-k-n+c)!} \qquad (*)
\end{array} \)
La probabilidad de obtener cualquier otra sucesión de c objetos
defectuosos de un total de n pruebas se calcularía de la misma
forma. Los numeradores, como hemos observado en el problema anterior,
contendrían el mismo conjunto de factores, aunque en un orden
diferente, y darían el mismo producto que en dicho caso; los denominadores
no cambiarían, y, por tanto, su producto sería el mismo que en
el caso anterior. Entonces, todas las sucesiones que contengan
c objetos defectuosos de un total de n pruebas tienen la misma
probabilidad que la dada por la ecuación (*). El número S de sucesiones
distintas que contienen exactamente c objetos defectuosos de un
total de n es igual al número de permutaciones P
m(n;
c, n-c) de n objetos tomados de n en n, siendo c objetos de una
clase y el resto de otra; es decir:
\( \displaystyle S = Pm(n;c,n-c)= \frac{n!}{c!(n-c)!}= C(n,c)
\qquad (**) \)
La probabilidad total, P(c), de obtener exactamente c objetos
defectuosos en un total de n pruebas es igual al número de sucesiones
S multiplicado por su probabilidad común, P(E), es decir:
\( \displaystyle P(c)= S·P(E) = \frac{n!·k!(N-k)!(N-n)!}{c!(n-c)!·N!(k-c)!(N-k-n+c)!}
\)
Podemos reagrupar estos términos para obtener una fórmula mas
elegante :
\( \displaystyle P(c) = \frac{k!}{c!(k-c)!}\times \frac{n!(N-n)!}{N!}\times\frac{(N-k)!}{(n-c)!(N-k-n+c)!}
= \)
\( \displaystyle = \frac{C(k,c)\times C(N-k,n-c)}{C(N,n)} \quad
(***) \)
Expresión conocida con el nombre de ley hipergeométrica de la
probabilidad.