PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de cálculo de probabilidades

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Ejercicios de probabilidades

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PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES

RESPUESTA DEL EJERCICIO 5.

Los principios que intervienen en este problema son casi los mismos que los del ejemplo anterior. Según el teorema que expresa la ley general de la probabilidad compuesta, la probabilidad P(E) de obtener una sucesión de c objetos defectuosos seguida de n-c objetos en buenas condiciones viene dada por un producto de fracciones tales que cada numerador es igual al número de objetos de la clase correspondiente que se pueden elegir al ejecutar la prueba, y cada denominador es igual al correspondiente número total de todos los objetos que hay en ese momento. Luego :

    \( \displaystyle \begin{array}{l} P(E) = \frac{k}{N}·\frac{k-1}{N-1}\cdots\frac{k+1-c}{N+1-c}·\frac{N-k}{N-c}·\frac{N-k-1}{N-c-1}\cdots \\  \\ \cdots \frac{N-k+1-n+c}{N+1-n}= H \end{array}\)
Podemos expresar este resultado en forma más compacta multiplicándolo y dividiéndolo por la cantidad :
    \( \displaystyle \frac{(k-c)!(N-k-n+c)!}{(N-n)!} \)
con lo que obtenemos :
    \( \displaystyle\begin{array}{l}
    P(E)= H\times \frac{(k-c)!(N-k-n+c)!}{(N-n)!}\times \frac{(N-n)!}{(k-c)!(N-k-n+c)!}= \\
     \\
    = \frac{k!(N-k)!(N-n)!}{N!(k-c)!(N-k-n+c)!} \qquad (*)
    \end{array} \)
La probabilidad de obtener cualquier otra sucesión de c objetos defectuosos de un total de n pruebas se calcularía de la misma forma. Los numeradores, como hemos observado en el problema anterior, contendrían el mismo conjunto de factores, aunque en un orden diferente, y darían el mismo producto que en dicho caso; los denominadores no cambiarían, y, por tanto, su producto sería el mismo que en el caso anterior. Entonces, todas las sucesiones que contengan c objetos defectuosos de un total de n pruebas tienen la misma probabilidad que la dada por la ecuación (*). El número S de sucesiones distintas que contienen exactamente c objetos defectuosos de un total de n es igual al número de permutaciones Pm(n; c, n-c) de n objetos tomados de n en n, siendo c objetos de una clase y el resto de otra; es decir:

    \( \displaystyle S = Pm(n;c,n-c)= \frac{n!}{c!(n-c)!}= C(n,c) \qquad (**) \)
La probabilidad total, P(c), de obtener exactamente c objetos defectuosos en un total de n pruebas es igual al número de sucesiones S multiplicado por su probabilidad común, P(E), es decir:

    \( \displaystyle P(c)= S·P(E) = \frac{n!·k!(N-k)!(N-n)!}{c!(n-c)!·N!(k-c)!(N-k-n+c)!} \)
Podemos reagrupar estos términos para obtener una fórmula mas elegante :

    \( \displaystyle P(c) = \frac{k!}{c!(k-c)!}\times \frac{n!(N-n)!}{N!}\times\frac{(N-k)!}{(n-c)!(N-k-n+c)!} = \)

    \( \displaystyle = \frac{C(k,c)\times C(N-k,n-c)}{C(N,n)} \quad (***) \)
Expresión conocida con el nombre de ley hipergeométrica de la probabilidad.
EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES


tema escrito por: José Antonio Hervás